[공업수학] 선적분 curve integral

본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 공업수학 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 공업수학I 개정3판 (고형준 외, 도서출판 텍스트북스) 의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.

곡선

위 곡선을 매끄러운 곡선(smooth curve)라고 합니다. 각 축 성분의 미분값이 모두 0이 아니어야하지요. 그리고 곡선의 양의 방향은 변수 t가 증가하는 방향입니다.

 
위 곡선은 매끄러운 곡선 C1, C2, C3가 만난듯이 보이지요. 이것을 조각별로 매끄러운 곡선(piecewise smooth curve)라고 합니다.

 
이렇게 시작점과 끝점이 만나면서 매끄러운 곡선을 폐곡선(closed curve)라고 합니다.

 
방금전 폐곡선은 꼬여있는 모양이었지만, 이번것은 안그렇지요? 이것을 단순폐곡선(simple closed curve)라고 합니다. 

정적분

이미 알고 있는 정적분의 정의를 다시 확인하면

 
위와 같습니다. 위 다섯단계를 거쳐 무한급수를 만들죠. 이것이 정적분의 정의인데

선적분

선적분의 정의또한 같습니다.

 
매끄러운 곡선에대해 정적분의 다섯단계를 수행하고 나면 급수의 형태로 나타날 것이고,

 
이를 정적분으로 표현한 것이 선적분입니다. 

매개변수로 정의되는 선적분

매개변수로 정의되는 곡선의 선적분은

 
위와 같이 계산할 수 있습니다. 

양함수로 정의되는 선적분

매개변수가 아니라 양함수형태로 정의된 선적분의 계산방법은 위와 같습니다.

보통 선적분의 표기를 위와 같이 하는데요. 마지막은 폐곡선인 경우 표기법입니다.

만약 변수가 하나 더 있다면, 즉 공간이라면 각 정의식의 마지막에 z축에 대한 위 식들을 넣어주면 됩니다.

참고자료 09 Vector 06.pdf