[공업수학] 경로의 무관성

본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 공업수학 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 공업수학I 개정3판 (고형준 외, 도서출판 텍스트북스) 의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.

경로의 무관성

위와 같이 좌측의 미분을 우측처럼 표현할 수 있을때, 완전미분방정식이라고 합니다.

위 처럼 Phi가 결정되면 P나 Q함수의 모양이 만들어지겠죠. 이런걸 완전미방이라고 한다는 겁니다. 만약

위와 같이 생각해보면, 하나의 함수로 표현할 수 없습니다. 이러면 완미방이 못되는 거죠.

완미방이면서 경로에 무관하면, 원함수에 경로의 처음과 끝점만 넣어주면 됩니다. 여기서 경로에 무관하다는 것은 어떤 경로로 선적분을 수행해도 같은 결과가 나타나는 것을 의미합니다.

 
그럴때는 위와 같이 표기하기도 합니다.

위 문제를 보죠. 위 문제는 Phi = xy라고 하면 딱 맞아 떨어지는 군요. 그렇다면 경로에 무관하게 되고 그냥 적분구간만 생각해주면 됩니다. 만약 주어진 구간이 점 (0,0)에서부터 점 (1,1) 까지라면, 

이 될 것입니다.

위 조건을 만족하면, 단순연결(Simple Connect)라고 합니다. 그림으로 쉽게 생각해보면

두 그림중에서 왼쪽이 단순연결이 됩니다.

P와 Q가 단순연결이라면 위 조건을 만족하면 경로에 무관합니다. 

 

 
위 문제는 그 위 정리에 비춰보면 경로에 무관하지 않다는 것을 알 수 있지요.

다시 위 문제를 보죠. 일단 경로에 무관한지 아닌지부터 확인해야죠

에서

를 확인해보니 경로에 무관하다는 것을 알게 되었습니다. 

 

 
P만 보고 x에 관해 적분해서 위 Phi의 후보를 잡게 되었습니다. 일단 적분에서 나타나는 적분상수 여기서는 x에 관한 적분이었으므로 x말고 y,z의 함수일거라고 생각할 수 있겠죠 

 

 
Q와 비교해보니

찾을 수 있겠지요. 일단, x와 y에 대해서는 해결이 끝났구요. 하나 z에 대해서 생각해 봐야합니다. 같은 과정을 R에 대해 반복하는 거지요.

 

이렇게 찾을 수 있겠군요.

 
이제 원함수 Q를 완성했습니다. 

 

최초과정으로 돌아가서 원함수에 끝점과 첫 출발점을 입력하고 살짝 산수(^^)해주면 되겠군요... 

참고자료 09 Vector 07.pdf