[공업수학] 벡터의 회전(curl)과 발산(divergence)

본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 공업수학 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 공업수학I 개정3판 (고형준 외, 도서출판 텍스트북스) 의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.

벡터장

벡터장은 벡터가 모여있는 것? 이라고 그냥 할까요?^^

 
위와 같은 일반적 표현의 벡터함수가 벡터장(vector field)입니다. 물론 field의 정의를 내려야하지만, 우린 그냥 그렇다고 하죠.

 
이런 벡터장들은 여러가지 형태로 우리 주위에 모여있습니다. 흐름, 즉 방향이 있는 것은 전부 벡터장이라고 할 수 있습니다.

벡터의 회전

벡터의 회전(curl)은 위와 같이 정의됩니다. 그 계산은

 
Gradient를 계산할때 사용한 del 연산자를 이용해서 외적을 하면 됩니다.

벡터의 발산(divergence)

어떤 단위(del S)을 통과하는 유체? 전자? 여하튼 흐름을 가지는 어떤 선류(flux)가 있다고 하죠. 그 flux들이 del S를 지나가고 나서 기울어져가든 흩어지든 전체 부피는 직사각기둥으로 계산할 수 있습니다. 즉, del S에 수직한 단위벡터 n방향이죠.

 
그러니 위와 같이 표현할 수 있을 겁니다. flux의 양이라고 할 수 있습니다.

 
이제 위와 같은 육면체의 각 면을 통과하는 전체 flux를 계산해볼겁니다. 먼저 xz평면에 평행한 F1면을 지나가는 flux를 계산할텐데요. 그 면적은

이겠죠.

나가는 방향은 -j벡터방향이고 들어오는 방향은 j벡터 방향일거고, 면적에 그 양을 곱하면 될것입니다.

 
그렇게 전체 유동량을 잡아줄 수 있겠네요. 여기서 아래위에 del y를 곱해주면

위 식처럼 표현이 가능해지고, 이는 편미분의 형태로 나타나는군요. 다른 면에 대해서도 생각해보면

이 될 것입니다.

 
모두 합해서 단위부피로 바꿔보면

 
입니다.

 
이것이 발산의 정의입니다.

 
보통은 gradient와의 내적으로 구하게 되죠.

참고자료 09 Vector 05.pdf