[공업수학] 방향도함수와 접평면의 방정식

본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 공업수학 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 공업수학I 개정3판 (고형준 외, 도서출판 텍스트북스) 의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.

방향도함수

위의 그림에서 z=f(x,y)함수에 대한 x축이나 y축방향의 변화율은 각각의 편도함수로 구할 수 있을 것입니다. 그러나 만약 어떤 주어진 특별한 방향벡터에 대한 변화율은 어떻게 구할 까요?

위와같이 정의된 gradient 벡터를 사용합니다.

다시 위 그림에서 보면 어떤 곡면의 z쪽을 0으로 두어 xy평면에 대해서만 생각을 해보겠습니다. P점에서 이동한 경우

단위벡터와 직선 이동거리에 대한 크기를 각각 구할 수 있을 것입니다. 그리고 나면

할선의 기울기를 잡아줄수 있겠지요.

 
그러면 방향도함수를 gradient벡터와 방향벡터의 내적으로 잡아줄 수 있습니다. 그 증명은 

이구요.

 
결론은 방향도함수는 Gradient와 방향도함수의 내적으로 구할 수 있다... 입니다.^^

 
결국 내적이니까, 코사인값 즉, 두 벡터의 각도에 의해 크기가 변할 텐데요. 그러니, Gradient는 본함수의 변화량이 많은 곳을 가르키게 됩니다.

접평면

등위면상의 곡선에 대해서 위치벡터의 도함수를 한번 관찰해 보겠습니다.

각 축성분을 매개변수로 표현해서 생각해보면, Gradient와 위치벡터의 도함수의 내적은 신기하게도 '0'의 결과를 볼 수 있습니다. 이때,

위를 이용해서 표현할 수 있으니까요.

그렇다는 것은 Gradient 벡터는 등위곡선에 대해 수직하다는 것을 알 수 있습니다.

국, 접평면을 구하기 위해 필요한 법선벡터를 결정할 수 있다는 것을 의미하는군요^^

주어진 곡면과 접점에 대해, 접점이야 알고 있는거니까, 결국 법선벡터만 준비되어 주면 되구요.

 
뭐 위에서 이야기 했듯이 결국 접평면의 방정식은 Gradient 벡터로 구할 수 있겠군요.

간단한 예제 하나 첨부했습니다.^^

참고자료 09 Vector 04.pdf