[선형변환] 이산시스템과 z 변환 (z-transform)

이산시스템

[공학기초/Theory] - [선형변환] Continuos Systems에서도 이야기했던 선형시스템이 될 필요충분조건인 superposition을 이산시스템에도 같이 적용한 것입니다.

이산신호라는 것은 연속신호를 일정 시간간격으로 샘플링해서 얻은 신호입니다. 실제 우리가 접하는 PC나 혹은 마이크로 프로세서를 사용하는 대부분의 시스템은 이산시스템이라고 말할 수 있습니다. 그것은 연속신호를 Digital 신호로 변환하기 때문이지요.

이런 이산시스템에서는 연속시간시스템의 미분방정식과 같은 것이 차분방정식입니다. 위는 그 차분방정식의 전형적인 풀이를 제시하고 있는데요. 미분방정식과 그 풀이가 아주 흡사합니다.

Z - transform

역시 연속시스템에 Laplace Transform이 있다면, 이산시스템에는 Z - Transform이 있습니다. 이의 정의는

입니다. 시퀸스(Sequence)를 -무한대에서부터 보는지, 0부터 보는지에 때라 Two sided 혹은 One sided로 구분합니다.

정의식을 적용하고 간단히 고등학교때 배운 무한등비급수의 수렴공식을 이용한 풀이입니다. 이 때 유의 해야하는 것은 무한등비급수의 수렴공식을 사용하다보니 수렴조건이라는 것이 필요하게 되는데요. 그것을 ROC (Region of Convergence)라고 합니다.

또 하나의 예제를 보시면 좀 더 명확해지겠지요.^^.

정현파의 z 변환은 그 자체를 바로 무한급수의 수렴공식을 사용하기 보다는 지수함수로 바꿔주는 오일러공식을 이용해서 푸는 것이 유리합니다.

Inverse Z - transform

역 z 변환의 정의는

입니다. 그 적분의 형태가 몹시 복잡하다는 것을 알 수 있습니다. 보통은 역변환의 정의식보다는 변환의 공식을 역으로 이용하는 것을 많이 사용합니다. (라플라스 변환처럼요~~)

유수정리를 이용해서 풀게 되지요. 이때, 애초 우변 분자에 있던 z를 좌변으로 옮기고 푸는 것이 아주 좋습니다. 이유는 펜을 직접들고 풀면서 알아보세요^^

라플라스 변환과 z 변환의 관계

연속시간 시스템과 이산시스템, 라플라스 변환과 z 변환사이에는 위 그림과 같은 관계가 있습니다.

Descrete System.pdf