[공업수학] 이중적분

이중적분
이번에는 2중적분에서 구간의 설정과 간단한 예제. 그리고 질량중심과 관성모멘트의 도출을 간단히 다뤄보겠습니다.

본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 공업수학 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 공업수학I 개정3판 (고형준 외, 도서출판 텍스트북스) 의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.

이중적분

이중적분을 위에서 처럼 순서로 생각해보면 두가지로 생각해 볼 수 있을 겁니다. (뭘 먼저 적분하는가.. 하는 문제 말이죠) 정적분이라고 생각해야하는 것이니 먼저 적분되는 쪽은 다른쪽 변수로 함수화된 구간으로 주어져야할 것입니다.

 
위 문제를 보죠.

 
위 구간에서 이중적분을 수행해달라는 건데요.

 
x쪽을 먼저 적분해야하는 걸로 보면, x=y부터 x=5-y까지적분한다고 생각할 수 있습니다.

그러면 위와 같은 결과를 얻을 수 있지요.

그러나 위 문제를 보겠습니다. 

 
먼저 위와 같이 적분을 

 
위 그림처럼 시도하게 되면, 문제가 하나 생깁니다. y제곱을 가진 지수함수를 적분하지 못하는 거죠. 그리니 반대 방향으로 생각합니다.

위 그림처럼 시도하면

적분이 가능해 지는 거죠. 물론 적분구간에 대해서 조심하셔야합니다.

질량중심

밀도가 주어진 질량은 이중적분으로 도출할 수 있습니다.

밀도 함수도 주어졌으니 이중적분으로 일단 질량을 구하도록하죠

위 그림에 대해 생각하면

질량을 구할 수 있겠죠. 고등학교때 배운 삼각함수라는게 또 이렇게 사용된다는 것을 보면 고등학교때 좀 열심히 삼각함수할껄 하고 생각하는 학생들도 있을 겁니다.^^.

 
여기에 그 질량중심의 좌표를 구하는 과정입니다.

관성모멘트

관성모멘트의 도출 식인데요.

 
위 예제에 적용만 시켜보도록하면,

 
균일한 밀도라고 했고, 원판이니까 밀도함수의 위와같이 잡구요. 계사하면

 
되죠...^^ 

참고자료 09 Vector 08.pdf