[공업수학] 면적분

본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 공업수학 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 공업수학I 개정3판 (고형준 외, 도서출판 텍스트북스) 의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.

곡면의 넓이

위 그림 (a)에서 단 단위 넓이 Tk만 생각한 것이 그림 (b)입니다. 여기서 xy평면에 사영된 넓이를 Ak라고 한다면

이렇게 표현할 수 있겠죠. 그리고 그림 (b)의 벡터 u와 v는

위와 같이 표현가능합니다. 이때 fx나 fy는 각각 x축 y축방향으로의 기울기라고 생각하시면 됩니다.

그러면 넓이는 이전에 배운데로 두 벡터의 외적의 크기이니까

위와 같이 표현이 가능한 것이죠

 
이제 위에서 처럼 그 단위 넓이들을 다 더해주면 될 것이고, 이를 무한 등분했다고 생각하면

곡면의 넓이를 정의할 수 있게 됩니다.

면적분

위에서 생각되는 면적분은

 
단위면적 Sk에 대해 위와같이 정의될 수 있는데요

 
이때 dS는

 
방금전에 한데로 곡면의 넓이로 표현가능해집니다. 이를 이용해서 xz평면에서 생각하면

 
이고, yz평면에서 생각하면

 
입니다. 이전에 생각했던 질량도 동일하게 생각할 수 있습니다만.. 질량을 구할려면 밀도함수를 알아야죠. 그 밀도함수를

 
곡면의 넓이에 대해 적분하면 됩니다. 

방향성곡선

위 곡선들은 법선벡터 입장에서 생각한다면 한 점에서 두 방향이 존재하죠. 이때 z축 입장에서 증가하는 방향을 곡면의 양의 방향이라고 하고, 감소하는 방향을 음의 방향이라고 합니다. 그러나

 
우리가 익히 알고있는 뫼뷔우스의 띠 처럼 방향성이 없는 곡면도 있습니다. 

참고자료 09 Vector 11.pdf