[공업수학] 삼중적분

본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 공업수학 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 공업수학I 개정3판(고형준 외, 도서출판 텍스트북스)의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.

정의

위와 같은 입체의 부피를 구하기 위한 단위체적을 del V라고 한다면

삼중적분의 정의를 위와같이 내릴수 있을 것입니다. 삼중적분의 정의에서 계산을 수행하기 위해서 z축을 먼저 고려하면

위와 같이 xy평면에 정사영된 상태에서 생각해볼 수 있을 겁니다.

그러면 위와 같이 각각 정분해볼 수 있겠지요.

삼중적분의 응용

원기둥좌표계

지난번에 극좌표계를 이야기 했지만, 직교좌표계와 원기둥좌표계의 변환도 생각해볼 수 있습니다. 원기둥좌표계는 xy평면에서의 각도 theta와 원하는 좌표까지의 길이 r과 그 곳까지의 높이 z로 좌표축을 잡습니다. 그림을 보면 각 좌표계로 변환하는 법은

이렇겠죠.

원기둥좌표계 삼중적분

원기둥좌표계에서의 어떤 함수 F를 체적으로 적분하는 것을 보여줍니다.

위 그림에서 각 적분 범위인 f1,f2,g1,g2를 확인할 수 있습니다.

구좌표계

물론 그림에서

에서

를 이용하면

각 직교좌표축에서의 성분을 구좌표계로부터 도출할 수 있습니다. 또한

으로 보면

원기둥좌표계로의 변환도 가능해집니다. 또한

직교좌표계의 성분으로 구좌표계로의 변환도 가능해지겠죠.

구좌표계에서 삼중적분

위 그림에서 단위 부피를 생각하면

이라고 대략 생각해볼수있습니다. 가로*세로*높이를 각각 rho delta phi, rho sin phi delta theta, delta rho로 본것입니다.

단위체적을 위와같이 정의하고

위 구좌표계에서의 삼중적분을 정의해볼수있네요.

09 Vector 13.pdf