내부모델설계기법 Internal Model Design

트래킹(tracking)문제에서 그 기준 입력이 계단입력, 경사입력, 정현파입력인 경우에 대해 유용하게 적용될 수 있는 내부모델설계기법(Internal Model Design)에 대해 다뤄볼려고 합니다.

다루고자 하는 시스템은 위와 같이 표현할 수 있습니다.

계단입력에 대해...

계단함수를 위와 같이 표현할 수 있으며

 
에러(error)를 기준입력인 계단함수와 출력의 차이라고 보면

 
계단한수를 한번 미분한것은 '0'가 될 테니 에러의 미분을 위와 같이 표현할 수 있습니다. 이 때

상태 z는 x의 미분으로 정의하고 입력의 미분을 w로 정의하면

와 같이 표현할 수 있습니다. 새로운 상태를 만들어낸것인데요.

 
위와 같은 표현을 사용할 수 있겠지요...

 
이때 제어 게인을 K라 하면 제어입력 w는 설정된 상태에 대해 위와 같이 표현될 것입니다.

 
w를 한번 적분함으로서 원 시스템의 제어입력 u를 찾을 수 있을 것입니다.

 
일때, 

 
시스템을 블럭도로 표현한 것입니다. 

경사입력에 대해...

경사함수는 위와 같은 모양일 것입니다. 이를 기준신호로 생각하면

 
에러와 그 한번 미분으로도 a가 없어지지 않음을 알 수 있네요. 다시

한번 더 미분하면 위와 같이 표현할 수 있음을 알 수 있습니다. 이때

 

위와 같이 새로운 상태를 잡고

원 시스템을 위와 같이 표현할 수 있습니다.

 
당연히 위의 상태행렬의 표현도 가능하겠지요.

 
역시 제어게인을 K라 보고 제어입력 v를 정의하면

 
v를 두번 적분함으로 원 시스템의 제어입력인 u를 구할 수 있게 됩니다.

 
위에 제어입력에 대해

 
와 같이 표현할 수 있게 될 것입니다.

정형파 입력에 대해...

지금 다룰 기준신호는 위의 정현파 신호입니다. 여기서

 
에러를 잡고 다시 두번더 미분하면 그 결과에 r이 보입니다. omega의 제곱이 곱해져 있네요. 그래서

이렇게 새로운 상태 z를 정의합니다.

 
그리고

 
위 식에서

 
새로운 입력 v와 상태 z를 이용하면

 
로 표현 가능하게 됩니다. 그러면

 
의 형태도 가능하겠지요.

본 자료는 Richard C. Dorf, Robert H. Bishop의 Modern Control Systems 제10판 을 참고한 자료입니다.