Reaction Wheel Pendulum. 리액션 휠 펜들럼의 동역학 유도과정 (최종)

분명 여름인데... 비가오면서 그런건지 요즘 덥지가 않네요. 지금 시간이 밤 10시가 넘었는데, 제가 있는 건물 1층에는 내일 국제생물올림피아드대회 준비로 많은 사람들이 분주하게 움직이고 있네요. 

오늘은 리액션휠에 대한 이야기를 할려고 합니다. 사실 이 부분은 참 창피한 이야기인데요. 아주 예전에 리액션휠에 대해 이야기를 했었습니다.[관련글] 그런데 이 때 제가 동역학을 잘 못 유도한 것을 알고 다시 수정본을 포스팅[관련글] 했는데요. 큭... 그것 마저 잘못되었더군요. 그래서 다시 합니다. 두 번째 포스팅 당시 sdfzz님의 질문에서 시작된 의문 덕분에 잘못된 것을 알았지요. 그 후 차일피일 미루다가 이렇게 다시 공부한 결과를 올려놓네요...

먼저 의문점의 시작을 이야기해야겠습니다.^^

이 책은 "The reaction wheel pendulum"이라는 책(이하 참조A)에서는 

여기서

위의 운동에너지 부분이 마치 단순히 theta와 theta_r 즉, 막대기와 휠의 운둥에너지를 다룬듯이 보이고, 

라그랑지안 방정식에서 모터의 토크가 두 상태에 다른 방향으로 인가된다고 설명하고 있습니다.

이제 또다른 참조

"Non-linear control for Underactuated Mechanical Systems"와

"Nonlinear control of the Reaction Wheel Pendulum"

위 두 참조 문헌(이하 참조B)에서는 

위에서

운동에너지를 고려할때, 참조A와 다른 모습을 보여주고 있는듯 보입니다.

그리고, 마지막 단계, 라그랑지방정식에서 외력을 한쪽에만 모터토크가 들어가는 듯 모이는데요.

마치 다르게 유도된듯이 보이는 것이 당시 가졌던 의문입니다.

정리하면,

참조A는 운동에너지를 직선운동에너지와 회전운동에너지로 두고 있는데, 이때, 회전운동에너지는 단순히 두 물체(막대기와 휠)의 회전력만을 고려했고

참조B는 회전운동에너지를 고려할때, 참조A와는 달리 뭔가 하나 더 들어간듯이 보인다는 겁니다.

또한,

참조A는 라그랑지 방정식의 결과식에서 외력을 두 상태 모두에 인가를 했고,

참조B는 휠을 구동하는 모터 토크는 휠의 상태 q_2를 유도한 식에만 인가되어있다는

것으로 보이는 겁니다.

이제, 달라보이는 두 동역학유도과정을 비교해보겠습니다. 방법은 참조A를 변형하는 것인데요. 참조A의 치환된 문자들을 대입해보겠습니다.

위 그림에서 참조A는 두 각 theta와 theta_r을 모두 절대좌표계의 각도로 보고있습니다.

그래서, 참조A의 라그랑지 방정식 결과식에 위와같이 대입합니다. theta는 phi로 theta_r은 막대가 움직인 phi에 휠이 돌아간 phi_r을 더한 것으로, 나머지는 참조A가 본문에서 밝힌대로 본래의 치환을 돌려놓는 것입니다.

일차적으로 위와 같이 정리가 됩니다. 이를 참조B처럼 만들기 위해 모터 토크 tau를 다시 대입해서

이렇게 만들어 볼 수 있습니다. 이 결과를 참조B와 비교하면

이렇습니다. 같네요. 즉, 참조A와 참조B의 동역학은 같은 식입니다. 여기서 위치에너지를 의미하는 부분 중력가속도 g가 있는 부분의 부호는 좌표원점을 어디로 보고, 초기상태를 어떻게 보았느냐의 차이라 달라도 다른게 아니라는...^^

즉, 단순히 눈으로보면 달라보이는 동역학이 사실 같은 동역학이라는 것이 중요합니다.

결국

참조A는 막대와 휠의 각도를 절대좌표에서 바라본것이고

참조B는 막대의 각도는 절대좌표에서 본 것이지만, 휠의 각도는 막대를 기준으로 본 상태좌표입니다.

결국 최초로 저에게 리액션휠의 동역학 분석을 질문하셨던, "정문님"님과 그 후 저에게 질문을 하셨던 "sdfzz"님 덕분에 제가 라그랑지 방법을 통한 동역학 유도에서 잘 못 알고 있던 부분, 혹은 고민하지 않았던 부분에 대한 고민을 하게 해 주신거라... 감사의 말씀을 전하고 싶습니다.^^.

하여간, 결론은

라그랑지 방법을 이용한 동역학 유도에서 각 상태를 절대좌표계에서 보는가 상대좌표계에서 보는가에 따라 조심스럽게 접근을 해야겠네요.

이제 다시, 저만의 것으로 만들기 위해 저도 따로 유도를 하겠습니다.

위 그림에서,

위치벡터와 그에 따른 속도벡터에서 운동에너지와 위치에너지는

와 같습니다. 여기서 theta_2는 막대에서 본 상대각도입니다. 그러므로 운동에너지는 직선운동성분과 회전운동성분인데, 이 중 회전운동에너지는 theta_1에 대해서는 일반적인 상황과 같지만, 휠의 회전운동은 theta_1의 속도와 theta_2의 속도의 합에 대해 기술해야하는 것입니다.

그럼 위의 라그랑지안이 나타나는데요

이 후 유도를 위해 좀 정리를 다시하고, theta_1에 대한 라그랑지 방정식은

이렇습니다. 여기서 외력은 '0'입니다. (마찰 무시) theta_2에 대한 라그랑지 방정식은

이렇습니다. 여기서는 모터의 토크가 외력으로 고려됩니다.

이렇게 해서, 리액션휠의 동역학의 라그랑지방정식을 얻었네요. 음... 이쯤이 결론이지 않을까하는데요^^

요즘 논문준비로 너무 바쁘게 보네는데, 큰일입니다. 밸런싱로봇 이야기도 해야하는데 말이죠.. ㅎㅎ