Reaction Wheel Pendulum. 리액션 휠 펜들럼의 동역학 및 시뮬레이션

현재 이글의 내용은 잘못유도되었습니다. http://www.pinkwink.kr/342 를 바로 읽으시길 바랍니다.

어느날 문득... 저에게 트랙백이 하나 날라들어왔습니다.

[모델링] 리액션 휠을 이용한...??? 응?? 그래서 따라가 보았더니

저(PinkWink)에게 질문을 하신 것이더군요...ㅠㅠ 평상시엔 이렇게 풀어달라든지, 혹은 코드 어디가 잘못된 것인가?? 라는 형식의 질문은 대답을 잘 하지 않습니다. 이유는 저도 상당히 실력이 떨어지기 때문에 어디가 문제인지 확인하기 위해서는 너무 오랜시간을 고민해야하기 때문입니다. 딱 보고 여기가 잘못임... 이라고 말 할 수 있는 고수가 아직 되지 못했기 때문이지요...ㅠㅠ 

그런데 이 경우는 시스템자체가 관심이 가더군요.. 그래서 대략 3시간동안 정리를 해보았습니다.ㅠㅠ

Reaction Wheel Pendulum 이라는 것이 정확한 용어인지는 잘 모르겠습니다. 또한, 다른 관련자료를 찾아보지 않아서 정확하게 개념을 잡았는지도 사실 잘 모르겠습니다. 그저 재미삼아 한번 유도해보겠습니다. 

리액션 휠 펜들럼이라는 것은 위 그림처럼 넘어질려고하는 막대를 막대끝에 달려있는 휠(원판)을 돌려서 그 반작용으로 넘어지려는 막대를 세우는(안정화) 시스템입니다. 각 파라미터는 그림에 표시되어 있습니다.

라그랑지안 유도를 위해서는 속도벡터 성분을 알아야합니다. 그러므로 위치벡터를

구했습니다. 그러면, 전체 운동에너지는

로 표현할 수 있습니다. 음... 위 수식의 표현이 잘못되었네요. 내적한 후에 미분한 것이 아니라, 각 위치벡터를 미분해서 속도벡터를 구한 다음에 내적한 것입니다. 단지 제가 저 수식을 표현만 잘못했을뿐 이후 과정은 문제가 없으니 패스... (헉.. 절대 수정하기 귀찮아서가 아닙니다...ㅠㅠ)

전체 위치에너지는 위와 같습니다. 이제 라그랑지안(lagragian) L은 전체 운동에저니의 합에서 전체 위치에너지의 합을 뺀것과 같으므로

입니다. 이 걸 좀 더 절이하면

입니다.

상태 theta1에 대해 라그랑지방정식을 뽑을 건데요. 이때 외력은 마찰력을 고려하고, 또한, 막대에 인가되는 외력은 모터에 의해 회전한 휠의 반력이 인가된다고 보았습니다. 이 식을 다시 정리하면

이 됩니다.

theta2의 라그랑지 방정식을 유도할때 외력을 가정한 것은 역시 마찰력과 모터의 토크인데요. 유도하다보니 여기서 마찰력을 고려한것이 전체 수식상의 정개를 상당히 귀찮게 하더군요. 그래서 없다고 해버렸습니다.^^. 모터토크를 고려할때 생각하면 된다고 가정한건데요. 뭐 기구부를 만들때의 문제이니 전 패스~~

그래서 정리하면 위와 같습니다.

그러나, 여기서 휠의 각도를 '0'으로 보내는 제어는 관심이 없으니 theta2를 꼭 상태로 잡을 필요는 없겠지요. 그래서

이렇게 두고, theta1의 라그랑지방정식에 대입합니다.

그러면 이렇게 정리가 되네요

이걸 더블닷으로 정리를 완료했습니다. 여기서, 시뮬레이션을 위해 파라미터를 가정(실제기구부가 없으니...)해야하는데요

이렇게 가정했습니다. 제 주위에 굴러다니는 원판하나의 무게와 크기를 보고 가늠한 것이니 이 파라미터가 이상해도 뭐.. 어쩔 수 없습니다.^^ 그저 가정이라는...

이렇게... 시뮬레이션을 위해 동역학을 파라미터까지 가정해서 완성했습니다.

MATLAB/Simulink로 환경을 구축하는데요. fcn문에는

이렇게하고, 제어게인은

이렇게 두었습니다. 초기각도는 theta1을 3도로 보았습니다.

파란선이 각도이고, 빨간선이 모터가 내놓아야할 토크입니다. 만약 제가 가정한 파라미터가 현실성이 있고, 동역학 유도에 큰 문제가 없다면, 이 시스템은 설계가 가능하긴 하겠네요...

그저 한번 재미삼에 유도했는데요... 다음 실험실 학부 논문조가 괜찮은 학생들로 들어온다면, 요걸 한번 시켜보는것도 재미있겠는데요...^^