[선형변환] Convolution 컨볼루션 적분

Convolution 적분은 시스템의 임펄스응답을 알고있을때, 입력에 대한 출력을 계산할 때 많이 사용합니다. Convolution은 합성곱으로도 알려져 있으며 위키백과, 울프럼알파에서 소개하는 정의를 참조해보길 권합니다.

Convolution 컨볼루션의 정의

위의 컨볼루션의 정의를 보며 한쪽 함수(신호)를 반전(reverse)하고 평행이동(shift)하고 곱해서 적분하는 것입니다. 위 정의식대로 적분을 수행하는 것이 가끔은 좀 까다로울 수도 있습니다만. 일단 간단한 예제를 하나 보겠습니다.

지수 함수와 삼각함수의 컨볼루션을 보여주고 있는데요. 정의식대로 수행해 가고 있습니다. 중간에 부분적분을 두번 연속해서 사용하는 부분을 조심해서 체크해야겠네요.

Example

조금 더 어려운 형태의 예제를 보겠습니다.

위 두 함수의 컨볼루션을 구하는 것인데요. 처음의 정의대로 수행을 하죠. 반전하고 평행이동하고^^

그리고 위 그림처럼 점점 이동시키면서 겹치는 부분만 적분을 수행합니다.

각 상황별로 적분을 수행하고 합쳐주면 되겠지요^^.

convolution.pdf