[선형변환] Continuos Systems

이 번에는 선형시스템의 정의를 한번 살펴보고 간단한 미분 방정식의 해법을 한 번 알아보도록 하겠습니다.

Linearity 선형성

어떤 시스템이 선형이라는 것은 Superposition이 만족해야합니다. Superposition이라는 것은

 
위의 Homogeneity와 Additivity가 동시에 만족해야하는 데요. Homogeneity는 어떤 입력에 대한 출력을 가지는 시스템이 그 입력에 상수배를 하면 출력도 그대로 상수배로 나타난다는 것이구요. Additivity는 각각 다른 두 입력에 대한 두 출력이, 그 두 입력을 더해서 입력하면 출력도 더해져서 나타난다는 것입니다. 위 두 성질을 한번에 쓰면

 

Superposition이라고 하며 위와 같이 설명할 수 있습니다.

LTI 시스템 : Linear Time Invariant System

어떤 시스템이 LTI 시스템이라고 하면, 위에서 설명한 선형(Linear)의 성질을 가지면서 추가로 Time Invariant 시불변성을 가져야합니다.

어떤 입력에 대한 출력은 시간이 흘러도 변하지 않아야한다는 것이지요. 선형시불변성의 의미입니다.

미분방정식의 종류

변수 분리형 미분방정시

위에 보이는 형태의 비방은 변수분리형으로서 그 해법은 보다시피 정형화되어있습니다.

 

Homogeneous Linear Equations

위의 제차방정식은 보조방정식을 이용해서 간단히 해법을 찾을 수 있습니다.

 
만약 2차미분방정식이라면 위와같이 보조방정식이 2차식이 되어 중고등학교때 배운 근의 공식으로 간단히 그 결과를 얻을 수 있는데요. 조심해야할것은 서로다른 두 실근, 중근, 허근... 등의 상황에 따라 해법이 달라진다는 것에 주의해야합니다. 
 

위에 간단한 예제를 들어두었습니다.

더 자세한 내용은 Continuous System.pdf 을 참조하세요^^