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Theory/ControlTheory

부유체 위의 크레인 동역학

배와 같은 부유체 위에 설치된 크레인의 제어기를 설계하기 위한 전단계로 좀 더 간략화된 동역학을 유도해보고자 합니다. 


먼저 위 그림과 같은 부유체가 있고, 그 위에 크레인이 있다고 가정합니다. 모든 것을 고려한 동역학을 유도하기 전에 좀 더 간단히 유도해서 제어기의 설계가능성을 확인해보고자 하니 몇몇 가정이 필요합니다.

먼저, 스프레더(컨테이너박스를 집는 장치)는  트롤리(스프레더를 이송시키는 장치)의 진행방향으로 추가 제어력을 가집니다. 이는 스프레더를 좀 더 잘 제어하기 위한 장치입니다. 부유체는 그림상에서 i축 중심의 회전만 고려합니다. 트롤리와 스프레더를 연결하는 와이어의 길이변화는 고려하지 않습니다. 스프레더와 트롤리는 질점으로 생각하고, 마찰은 고려하지 않습니다.


먼저 트롤리와 스프레더의 위치벡터를 고려합니다.


이를 이용해서 운동에너지(T)와 위치에너지(V)를 구합니다.




라그랑지 방법을 이용하기 위해 라그랑지안(L)을 도출합니다.


위 라그랑지 방정식을 이용합니다. 상태는 트롤리의 이동거리(y)와 스프레더의 각도(theta)를 고려합니다.


트롤리에 적용되는 힘은 F_t로 두고, 스프레더에 추가로 설치된 힘은 회전력이므로 길이 스프레더와 트롤리사이의 거리(l)를 생각해야합니다.


이렇게 구한 라그랑지 방정식을 더블닷에 관해 정리하면


입니다.


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  • BlogIcon 라라윈 2010.02.23 05:36

    역시 떠있는 물체의 크레인에는 어려운 역학이 들어있군요....ㅜㅜ

  • 지니 2016.04.06 10:35

    초기 수식을 보던 도중에 의문이 발생해서 글을 올립니다.
    트롤리 같은 경우 (ycosa+hsina)j+(hcosa-ysina)k
    스프레더의 경우 (ycosa+hsina+lsin세타)j+(hcosa-ysina-lcos세타)k 아닌가요?
    부호가이해되지 않아서 그렇습니다. 단위 벡터 앞의 스칼라량의 경우에는 방향성이 없어서 이렇게 작성해야되지 않는건가 해서 올립니다.

    • BlogIcon PinkWink 2016.04.06 13:02 신고

      헉.. 제가 가장 무서워하는 질문입니다. 기억나지 않는 예전 글에 대한 댓글...ㅠㅠ.
      일단 많은 고민을 할 수 없는 상태에서 즉답을 드리는 거라 좀 자신이 없긴 하지만.ㅠㅠ.(비겁한 변명 중.ㅠㅠ)
      트롤리가 우측으로 힘을 받으며 가고 있어서, 모바일 하버도 오른쪽으로 기울고 있는 상황입니다. 그러므로 ccw가 기준값인 각도 alpha는 현재 방향이 '-'입니다. 그래서 길이 정보를 구하기 위해 '-'를 다시 붙인 겁니다.
      (흠.. 맞는 설명이어야 할텐데.ㅠㅠ.)

    • 지니 2016.04.06 17:49

      감사합니다.
      위의 그림에서 알파가 마이너스 방향으로 잡힌 각이라서 제가 작성한 식에 마이너스 알파를 넣으니까 동일한 결과가 나오네요...

      그 다음으로 이제 라그랑지 방정식을 푸는 도중에 세타에 대한 라그랑지 방정식이 좀 다르게 나와서 또 보고 있는데...

      세타에 대한 편미분을 시행하면 g가 붙은 항이 있어야되는데 안보이네요 ㅠㅠ 제가 미분을 잘못한건지 걱정입니다..

      제가 한방식으로 Ft는 똑같이 나오는데 Fb가 다르게 나오네요...

    • BlogIcon PinkWink 2016.04.07 13:19 신고

      아하... 다음단계는 진행을 안해봤는데 말이죠.ㅠㅠ.
      그래도 제가 잘못 정리했을 수도 있죠^^
      아무튼 화이팅입니다.^^