부유체 위의 크레인 동역학

배와 같은 부유체 위에 설치된 크레인의 제어기를 설계하기 위한 전단계로 좀 더 간략화된 동역학을 유도해보고자 합니다. 

먼저 위 그림과 같은 부유체가 있고, 그 위에 크레인이 있다고 가정합니다. 모든 것을 고려한 동역학을 유도하기 전에 좀 더 간단히 유도해서 제어기의 설계가능성을 확인해보고자 하니 몇몇 가정이 필요합니다.

먼저, 스프레더(컨테이너박스를 집는 장치)는  트롤리(스프레더를 이송시키는 장치)의 진행방향으로 추가 제어력을 가집니다. 이는 스프레더를 좀 더 잘 제어하기 위한 장치입니다. 부유체는 그림상에서 i축 중심의 회전만 고려합니다. 트롤리와 스프레더를 연결하는 와이어의 길이변화는 고려하지 않습니다. 스프레더와 트롤리는 질점으로 생각하고, 마찰은 고려하지 않습니다.

먼저 트롤리와 스프레더의 위치벡터를 고려합니다.

이를 이용해서 운동에너지(T)와 위치에너지(V)를 구합니다.

라그랑지 방법을 이용하기 위해 라그랑지안(L)을 도출합니다.

위 라그랑지 방정식을 이용합니다. 상태는 트롤리의 이동거리(y)와 스프레더의 각도(theta)를 고려합니다.

트롤리에 적용되는 힘은 F_t로 두고, 스프레더에 추가로 설치된 힘은 회전력이므로 길이 스프레더와 트롤리사이의 거리(l)를 생각해야합니다.

이렇게 구한 라그랑지 방정식을 더블닷에 관해 정리하면

입니다.