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[회로이론] RC 회로

category Theory/Lecture 2010.01.05 16:01
본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 회로이론 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 회로이론 제7판 (Thomas L. Floyd 지음, 이응혁 외 번역, ITC)의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.

RC 회로의 정현파 응답

직렬로 연결된 RC회로에 전압을 정현파로 인가하면, 저항의 전압 Vr이 전원전압 Vs 보다 앞서서 나타나고, 캐패시터의 전압 Vc은 전원전압 Vs보다 뒤져서 나타나는 현상을 관찰할 수 있습니다. 또한, 전류가 Vs보다 앞서서 나타나는 현상도 관찰할 수 있는데요. 이런 위상차이를 고찰해 보도록 하겠습니다.

 

먼저 임피던스(Impedance)라는 용어부터 정의해야겠네요. 임피던스는 저항과 용량성 리액터스로 구성되며 정현파 전류의 흐름을 방해하는 전체적인 성질의 정도를 의미합니다. 단위는 옴[ohm]을 사용합니다. 위 그림을 보면, 정현파 전압에 저항만 하나 연결된 경우 임피던스는 저항과 같습니다. 만약 캐패시터만 하나 연결된 경우라면 임피던스와 용량성 리액터스는 같겠죠. 그러나 위의 그림(c)처럼 저항과 캐패시터가 직렬로 연결된 경우라면 해석이 필요합니다.

 

위 그림에서 보면, 저항과 용량성 리액턴스는 90도의 위상차를 가집니다. 이건 지난번[[공학기초/Theory] - [회로이론] 캐패시터]에 이야기한 것이구요. 저항과 캐패시터가 직렬로 연결된 경우, 전체 임피던스는 위 그림에서 대각선을 의미합니다. 그러니 임피던스는 R과 Xc를 안다면, 대각선의 길이와 그 각도를 구하는건 쉬운 일이겠지요.

이렇게요^^ 

그러면 최종적으로 직렬연결된 RC회로의 임피던스의 크기와 그 위상각을 알 수 있게 됩니다. 임피던스도 정현파에 대한 저항성분이기 때문에 기본적으로

옴의 법칙을 만족합니다. 예제하나 보죠

위 회로에서 입력 정현파의 주파수를 알고 있네요. 그리고 캐패시턴스도 알고 있으니 용량성 리액턴스는 구할 수 있고 그로부터 임피던스의 크기와 위상각을 찾을 수 있죠. 또 임피던스의 크기를 알게 되었으니 전원전압도 알 수 있게 됩니다.

위상각의 크기도 알았으니

위와 같이 페이저도라고 부르는 것도 그릴수있게 되겠네요^^ 

다시 정리해서 위와 같이 저항의 전압과 캐패시터의 전압과 전원전압간의 위상각을 조사할 수 있습니다. 이는

 

처음 이야기했던 부분인데요. 서로의 위상차를 설명해주고 있습니다. 

주파수와의 관계를 살짝 들여다 봐야겠네요. 용량성리액턴스는 주파수가 증가하면 감소합니다. 위 그림을 보면 주파수가 증가하면, 용량성 리액턴스는 감소하지요. 저항은 그대로인데 주파수가 증가해서 용량성 리액턴스가 감소한다면, 당연히 전체 임피던스가 감소하게 됩니다. 전체 임피던스가 감소하면 또한 당연히 전체 전류가 증가하게 되지요. 위 그림은 그런 상황에 대해 설명하고 있습니다. 

RC 지상회로와 진상회로

위와 같이 R과 C를 연결하고, C단자를 Vout이라고 하면 출력전압이 입력전압에 대해 뒤지는 위상을 각는 회로가 됩니다. 이를 RC 지상회로(RC lag)라고 합니다.

결과가 위와 같지요. 

용량성 리액턴스를 생각한다면 출력전압은 전압분배로 생각하면 되구요. 위상각은 90도에서 빼주면 됩니다. 이유는

그림대로입니다.

위 회로에서 캐패시터가 아니라 저항단에 출력을 잡으면 위상이 앞서서 나오는

진상회로 (RC lead)가 됩니다.

 

역시 계산식은 위와 같으며

얼마자 앞서는지, 진상각도 알수있구요.

병렬 RC회로

위에서처럼 병렬 RC회로의 임피던스와 위상각은

이렇게 구할 수 있습니다. 전체임피던스를 분모로 분자에는 두 저항성분의 곱이 합성임피던스가 되죠. 잘 생각해보면 뭐 두 저항의 병렬연결과 같은 원리입니다. 병렬회로에서의 해석에 유리하도록 몇몇 용어를 정리하고 가겠습니다.

컨던턱스(G)는 저항의 역수

로 단위는 지멘스[S]입니다. 용량성 서셉턴스(capacitive susceptance)는 용량성 리액턴스의 역수로

 

역시 단위는 지멘스입니다. 임피던스의 역수를

어드미턴스라고 하고 물론 단위는 지멘스입니다.

위의 RC 병렬회로를 보면, 전류의 위상을 생각하면

입니다. 이런 병렬 RC회로는 등가의 직렬 RC 회로로 변환이 가능한데요. 전체 임피던스와 위상만 알면 되지요. 

위 그림은 병렬 RC회로의 등가 직렬회로에 대한 임피던스 페이저도입니다. Z와 theta는 병렬회로에서 구한 값이고, Req와 Xc_eq는 등가로 구성할 직렬 회로의 값입니다. 간단한 예를 하나 들면

위 회로를 직렬로 바꾸도록 하지요. 일단 임피던스(병렬이니 어드미턴스)를 구하도록 해보겠습니다.

그리고 

등가의 직렬회로에서의 값을 구한후

 

회로를 구성하면 되죠. 

RC회로의 전력

저항에서 소모되는 전력을 유효전력, 캐패시터에 저장되는 전력을 무효전력이라고 합니다. 유효전력의 단위는 W 와트이고 무표전력의 단위는 VAR입니다. 발음을 어떻게 하죠..? 저도 잘 모르겠네요.. 그냥 바알?^^ 

유효전력과 무효전력을 구하는 식입니다. 전력의 페이저도를 보면

원래의 용량성 리액턴스와 저항과 임피던스의 그림에서

전류를 넣어서 전력으로 두면 되죠^^

 

이렇군요^^ 

뭐 간단한 식들이긴 하지만, 정리해둡니다. 

저역통과필터(low pass filter)

위 그림을 보세요. 출력단은 캐패시터에서 잡았습니다. 전원전압의 주파수가 작아질수록 본래의 전압 10V에 근접한 출력이 나오죠?

 

그걸 주파수에 따라 출력전압값을 그린그림이 위에 있습니다. 저렇게 낮은 주파수일 수록 본래의 전압에 근접한 출력을 내놓는것을 저역통과필터라고 합니다.

고역통과필터(high pass filter)

저역통과필터와는 달리 고역통과필터는 주파수가 높아 질수록 입력전압에 가까운 출력을 갖는 것입니다.

 

위의 그림처럼 말이죠. RC회로에서 본래의 전압의 70%쯤.. 정확하게는 0.707지점을 차단 주파수(cutoff frequency)라고 합니다. 저역통과필터에서 보여드리자면

입니다. 차단 주파수를 구하는 것은

입니다. 

[2009] circuit 10.pdf


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  2. 궁금증 2013.01.05 17:58 신고

    직렬 rc회로는 각을 구할때 Xc/R 인데
    병렬 일대는 R/Xc 처럼 구하는 이유가 궁금합니다.

  3. teamjsa 2013.05.19 11:45 신고

    좋은 내용 감사합니다.
    내일 발표 때 여기에 있는 내용을 참조하려고 하는데. 괜찮을까요?

  4. teamjsa 2013.05.19 12:05 신고

    RC 혼합 연결(직렬+병렬)일 경우,
    병렬 연결 부분만을 우선 등가의 직렬로 변경한 다음
    해석이 가능한 것인가요?

  5. 오일뱅크 2013.06.21 13:42 신고

    쉽게 설명을 잘해주셔서 너무나 잘 보았습니다. 감사합니다.

  6. 지나가다가.. 2013.11.11 03:04 신고

    이번에 위상차관련 보고서를 쓰다가 개념을 이해하지 못하여 방황을 좀 했습니다..
    우연히 이 곳 블로그에 들러 자세한 설명을 읽고, 완벽하게 이해를 하였습니다.
    정말 좋은 글 감사합니다. 앞으로 자주 들러 참조하겠습니다.

  7. 사람 2013.12.02 20:52 신고

    R과 C를 연결하고, C단자를 Vout이라고 하면 출력전압이 입력전압에 대해 뒤지는 위상을 각는 회로가 됩니다. 이를 RC 지상회로(RC lag)라고 합니다.

    라고 하셨는데, 보통 진상 지상 회로를 이야기 할 때 전류와 전압의 위상을 비교하여 구별하지 않나요??

    • BlogIcon PinkWink 2013.12.03 09:21 신고

      네.. 당시 제가 수업할때도 이야기했던 내용인데...
      본 교재는 입력전압에 대해 출력으로 설정된 곳의 전압이 뒤지느냐 앞서느냐를 언급하는 부분이었습니다.
      후에 다시 전압과 전류에 대해서도 설명을 하는 부분이 있었습니다.
      앞서느냐 뒤지느냐에 대한 부분을 본 교재는 전압과 전류 등으로 세분화해서 설명하고 있었습니다.

  8. Jeon 2014.05.08 01:21 신고

    오실로스코프로 측정시 질문이 있습니다.
    정현파 신호(+) - 저항 - 커패시터 - 정현파 (-) 연결로 되어있을시에,
    커패시터 양단을 찍으면 제대로 나오는데,
    왜 저항 양단에 오실로스코프로 측정시에 입력전압과 위상과 전압크기가 똑같이 뜨는지 알고 싶습니다..
    왜 저항과 커패시터 위치를 바꿔서 측정해야하나요 ?

    • BlogIcon PinkWink 2014.05.08 13:52 신고

      저항과 커패시터의 특성에 관한 문제입니다.
      저항은 그런 성질을 가졌으며
      커패시터는 충방전에 따른 위상차를 가지는 특성을 가졌기 때문입니다.

    • Jeon 2014.05.08 15:10 신고

      네 특성과 이론은 대충 알고 있습니다.
      첫번째 그림에서 보면,
      R-C 연결에서, 저항은 VR이 Vs를 앞선다고 나와있고,
      VC는 VS에 뒤진다고 나와있습니다.

      그런데 실제 오실로스코프로 R-C연결에서 저항 양단을 측정할시 입력전압과 똑같은 위상과 크기가 나오고, 커패시터 양단은 이론값이랑 비슷하게 나왔습니다. (저항 양단을 측정시 전압강하된 크기가 나와야 하는거 아닌가요 ?)

      그래서 C-R연결로 바꾸고 저항 양단을 측정할시 이론값이랑 비슷하게 나오고, 커패시터 양단을 찍으면 입력전압과 똑같이 나오게 나오는데,


      즉, C-R, R-C 연결에서 앞단의 소자의 전압이 제대로 나오지 않는
      원인을 혹시 알 수 있을 까요 ? 제가 실험을 잘못한것일까요 ?

    • BlogIcon PinkWink 2014.05.09 01:00 신고

      뭐 저도 잘 알지는 못한답니다.^^. 아무튼 질문하신 것의 답인진 모르겠지만,
      소자의 양단을 측정하는가... 그라운드 대비 단자를 측정하는가의 차이로 보입니다.
      R-C, C-R 뭐가 다르지? 라는 질문에 대한 것도 사실 그라운드가 어디에 있었는가의 문제입니다.
      전압강하는 왜 나타나지 않는가? 라는 질문 역시도 단자의 양단이냐, 그라운드 대비 두 단자를 각각 측정해보는가의 차이이구요. 하도 오래전이라 정확하지 않을지도 모릅니다.^^

  9. BlogIcon 레드포탈 2014.08.02 23:50 신고

    이렇게 쉽게 설명된 글 처음봤습니다. 덕분에 살았습니다. 정말 감사합니다 ㅠㅠ

  10. 전기공학도 2015.05.02 19:16 신고

    전기공학부 학생인데요~ 예비 보고서 쓰면서 많은 도움이 되었습니다.
    커패시터에 흐르는 전류와 전압이 90도의 위상차를 보인다는 것은 이해가 되는데요..
    RC회로에서 저항 R에 걸리는 전압과 전압원에서 나오는 전압이 왜 위상차가 생기는지 도무지 이해가 되지 않습니다.ㅠㅠ

  11. schdds 2015.05.21 13:33 신고

    위상각 구할 때 지상은 90에서 빼주고... 진상은 그대로 인가요? 진상은 지상과 반대로 90 더해주는거 아니였나요?

    • BlogIcon PinkWink 2015.05.21 18:59 신고

      lag인가 lead인가는 문장상 뭘 기준으로 댕겨지고, 밀어졌는지를 봐야할듯해요^^ 그 부분이 좀 약하게 설명된듯 해요^^

  12. Rjh 2015.05.27 22:30 신고

    질문있습니다 예제1번에서 용량성 리액턴스 15.9K 와 임피던스가 18.8K 인것까지는 매우 이해가 잘되었습니다.
    그런데 전압 Vs를 구할때 전류 0.2mA는 어떻게 나타난건가요..?

    • BlogIcon PinkWink 2015.05.28 12:22 신고

      아하. 그건 수업자료 pdf를 보시면 되는데요.. 문제에서 주어진 값입니다. 0.2mA일때~~~라고 문제가 되어 있거든요^^

  13. 2015.08.19 15:57 신고

    질문좀 드려도 될까요.. 고교 물리과정에서 생긴 궁금증인데.. 코일이나 축전기를 교류에 연결하면 전류와 전압에 90도의 위상차가 발생한다고 배웠습니다. 그걸 sin cos 함수로 표현하고.. 그런데 오옴의 법칙으로 생각해보면 전압이 0인 상황인데 어떻게 전류가 최대가 될 수 있을까요? 이 생각에 사로잡혀서 다른부분이 해결이 되지가 않네요.. ㅜㅜ 고교과정에서 간단히 배우는 것은 알고 있지만 이해가 되지 않는 상황에서 무작정 받아드리려니 너무 어렵네요.. 답변 좀 부탁드립니다!

    • BlogIcon PinkWink 2015.08.19 21:30 신고

      C나 L이 들어가면... 더이상 단순한 옴의 법칙이 아니라.. 시간에 대한 방정식이 만들어 지기 때문입니다.

    • 탑카 2018.09.25 17:34 신고

      C나L이들어가면 주파수에 대한성분들이 나타나게 그리고 회로또한 주파수 성분이고려된 응답이 나타나게 그리고 에너지 저장소자들이기에 특성을 나타내는데 시간이 걸립니다

    • BlogIcon PinkWink 2018.09.30 12:11 신고

      감사합니다~

  14. 창현 2015.09.06 15:51 신고

    안녕하세요! 질문좀 드릴게요 RC직렬회로에서 커패시터 전류에 대해 구할때는 어떤 방식으로 해야하나요?
    제가 공부하기론 lm*sin(wt+세타) 인걸로 하는데 이것이 맞는지요

    • BlogIcon PinkWink 2015.09.06 22:59 신고

      말씀하신 공식이 전 기억나지 않네요... 한때는 몇 년 강의를 했던 과목이지만.. 또 손놓고 직장인의 삶을 시작한지도 또 몇 년이 되어서 기억이 가물거리는건지는 몰라도 말이죠^^
      다시보면 또 기억이 날진 몰라도 지금은 그럴 여유가 없네요. 그러고 보니.. 이런 내용을 강의하던 그 시절이 오히려 그립네요.. 그때는 한 달에 겨우 몇 십만원 받던 시간강사였음에도 ㅠㅠ

  15. 전기공학도 2015.09.14 01:35 신고

    감사합니다!! 교수님 덕분에 잘보고 완전이해했습니다!
    R-L-C 회로는 없나요??ㅠ

    • BlogIcon PinkWink 2015.09.14 09:43 신고

      ㅎ.. 네 감사합니다. 그 다음 학기 수업은 받지를 못했거든요.
      그리고 전 그냥 직장인입니다. 당시에는 학위과정중 시간강의를 했던거구요... 아무튼.. 좋은 성과있으시길 바랍니다.

  16. hhnn 2015.09.14 18:49 신고

    진짜 감사합니다... 계속 힘들게 찾아다녔는데 한번에 이해됐네요 ㅠㅠㅠㅠ 감사합니다.. 덕분에 쉽게 배워가요

  17. 공학인 2016.04.01 22:53 신고

    개념이 부족했는데 너무 잘 알아가요ㅎㅎㅎ 너무너무너무 감사합니다

  18. 2016.04.04 22:50

    비밀댓글입니다

  19. BlogIcon 구차니 2016.10.26 19:34 신고

    왜 27MHz 크리스탈에 1Mohm 저항을 다는지 조사하다가 여기까지왔네요 ㅋㅋ
    어우 전신학과출신이라 이런거 알려니 힘드네요 ㅜㅜ

    • BlogIcon PinkWink 2016.10.27 08:17 신고

      와우~~~ 우리는 계속 공부해야지요...ㅎㅎ
      그나저나.. 전 회로이론적 부분은 모두 까먹었어요ㅠㅠ.
      정말 기억이 안나는..ㅠㅠ.

  20. 회로이론초보단계 2018.09.05 17:51 신고

    좋은 자료 감사합니다. RC필터 설계 자료를 보다가 우연히 찾게 되었는데 너무 쉽게 이해할 수 있도록 정리해 주셔서 너무 잘 보고 배우고 있습니다. 저 궁금한게 VS=IZ에서 I=0.2mA라고 하셨는데 0.2mA는 어느 부분에서 계산을 하신건지 혹시 알려주실 수 있으실가여?

    • BlogIcon PinkWink 2018.09.06 08:32 신고

      그 값이 만약 계산과정에 없다면 주어진 값일 겁니다. 첨부된 자료나 원본 교재를 확인하면 나올 것 같습니다.

  21. gong 2018.10.15 17:00 신고

    rc 회로에서 콘덴서의 전압을 구하는 식을 알수 있을까요 저항 커패시터 입력전압 주파수를 알고 있을경우에 저항이랑 커패시터랑 동시에 있어서 구하는법을 모르겠습니다.