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지난번에 랑그랑지 방법을 이용한 시스템의 동역학 모델을 만드는 것에 대해 이야기를 했었고, 그 후 비선형동역학에 대한 MATLAB 시뮬레이션에 대해 이야기를 했습니다. 이번에는 보통 많이 사용하는 LQR 제어기를 설계하기 위한 전단계로 시스템의 선형화에 대한 이야기를 하겠습니다. 어떤 방정식이 선형인지 아닌지를 판별하는 것은 Superposition이 만족해야합니다. 그와 관련된 이야기는 제가 다룬 적이 있습니다. [관련글]

보통 선형화에서 많이 사용하는 도구는 Taylor Series인데요. 이 테일러 급수전개에 대한 정의와 설명은 위키디피아에 맞기도록하지요^^ [관련글] 우리는 그저 가져와서 사용하겠습니다.

위 식이 테일러 급수전개 식입니다. 예를 들어 sin(x)의 경우는 

위 결과에서 처럼 x라고 생각하면 됩니다. 아.. 위의 결과는 언제 제가 소개해드린적이 있는 울프럼알파에서 "taylor, sin(x)"라고 검색한 결과입니다. [관련글]

그래서 몇가지 공식이 있습니다.

sin(x) = x

cos(x) = 1

이렇게 두고 상태의 제곱승이상이나, 두 상태의 곱은 '0'이라고 둡니다. 아 당연히 동작점이 '0' 부근일때의 이야깁니다

그럼 이전에 얻었던 비선형동역학에서 위의  sin(theta)가 theta로 그냥 표현되면 되겠습니다.

그러면, 위에서 처럼 2차 선형 미방의 형태로 시스템을 간략히 만들어 볼 수 있겠습니다.

그걸 위와 같이 행렬식으로 표현한것이 상태방정식입니다. 

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