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[공업수학] 삼중적분

category Theory/Lecture 2009.12.02 22:12
본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 공업수학 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 공업수학I 개정3판(고형준 외, 도서출판 텍스트북스)의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.

정의

위와 같은 입체의 부피를 구하기 위한 단위체적을 del V라고 한다면

삼중적분의 정의를 위와같이 내릴수 있을 것입니다. 삼중적분의 정의에서 계산을 수행하기 위해서 z축을 먼저 고려하면

위와 같이 xy평면에 정사영된 상태에서 생각해볼 수 있을 겁니다.

그러면 위와 같이 각각 정분해볼 수 있겠지요.

삼중적분의 응용

원기둥좌표계

지난번에 극좌표계를 이야기 했지만, 직교좌표계와 원기둥좌표계의 변환도 생각해볼 수 있습니다. 원기둥좌표계는 xy평면에서의 각도 theta와 원하는 좌표까지의 길이 r과 그 곳까지의 높이 z로 좌표축을 잡습니다. 그림을 보면 각 좌표계로 변환하는 법은

이렇겠죠.

원기둥좌표계 삼중적분

원기둥좌표계에서의 어떤 함수 F를 체적으로 적분하는 것을 보여줍니다.

위 그림에서 각 적분 범위인 f1,f2,g1,g2를 확인할 수 있습니다.

구좌표계

물론 그림에서

에서

를 이용하면

각 직교좌표축에서의 성분을 구좌표계로부터 도출할 수 있습니다. 또한

으로 보면

원기둥좌표계로의 변환도 가능해집니다. 또한

직교좌표계의 성분으로 구좌표계로의 변환도 가능해지겠죠.

구좌표계에서 삼중적분

위 그림에서 단위 부피를 생각하면

이라고 대략 생각해볼수있습니다. 가로*세로*높이를 각각 rho delta phi, rho sin phi delta theta, delta rho로 본것입니다.

단위체적을 위와같이 정의하고

위 구좌표계에서의 삼중적분을 정의해볼수있네요.

09 Vector 13.pdf


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  1. BlogIcon 바람처럼~ 2009.12.03 00:23 신고

    와~ 이게 대체 ㅋㅋㅋㅋㅋ
    그냥 지나가다가 여기에도 댓글을 ^^;

  2. BlogIcon boramina 2009.12.03 11:37 신고

    생각해보니 고등학교 때 수학을 좋아했던 것 같기도.
    특히 미적분....
    다른 과목 공부하다가 수학 공부하면 머리가 맑아졌던 것 같아요.
    이건...자랑인가요?^^

  3. ㄴㄴㄴㄴ 2009.12.08 16:14 신고

    독서실노트에 이게 잔뜩...

  4. snowgot 2010.05.10 18:24 신고

    아 헷갈리네요 중적분까지는 x로 스캔하고 그 넓이를 y로 스캔한다는 식으로 머리속으로 상상해서 했는데 삼중적분배우니까 두개가 헷갈리네요 ㅜㅜ
    교수님한테 여쭤봤더니 삼중적분은 사차원에서 한단계 내려가는 음???
    고등학교때 배웠던 그냥 적분개념을 도입해도 한번 적분하면 무조건 넓이가 나오는데 두번 적분하면 부피 세번적분하면 ?? 4차원? 이런개념이 너무 혼동이 와요 ㅜㅜ

    • BlogIcon PinkWink 2010.05.11 13:26 신고

      직교좌표계라면
      한번 적분을 수행하면... 곡선의 길이를...
      다시 한번더 적분을 수행하면... 곡선의 합인 넓이가...
      다시 한번더 적분하면... 넓이의 합인 부피가 나타나는 것입니다.

      구나 원통좌표계라면
      한번 적분을 수행하면... 각도의 크기를...
      다시 한번더 적분을 수행하면... 각도의 크기와 길이성분을 이용해서 넓이가...
      다시 한번더 적분하면... 넓이의 합인 부피가 나타나는 것입니다.

      라고 생각할 수 있습니다만... 순전히 추상적으로...

      그저 넓이(2차)에 높이(1차)를 곱(3차)한 단위 체적을 적분하는 것이니 삼중적분이 된 것입니다.^^

  5. snowgot 2010.05.11 16:38 신고

    설명잘들었습니다. 근데 혼동이 오는게요 고등학교 수학에서는 y=x^2 식을 0부터 1 까지 단일 적분하면 그 밑의 '넓이'을 구했었는데
    위에서설명해주신 한번 적분을 수행하면 곡선의 길이가 나온다는건 무슨뜻인가요 ㅜㅜ 고등학교는 x,y 축 대학칼큘은 x,y,z 축이 있어서 그런것인가요?

    다시말해 x,y,z 축이 있는 3차원에서는 한번 적분을 수행하면 곡선의 길이를 나타낸다는 것이죠?

    • BlogIcon PinkWink 2010.05.11 16:55 신고

      죄송합니다. 위의 설명에서는 제가 그냥 이렇게 생각하시면 안될까요?? 라고 설명한 것인데.. 오히려 혼돈만 일으키네요...

      그저 단위체적(3차)을 적분해야하므로, 삼중적분이라는 말씀을 드리는 것이 목적이었습니다..

      그러나,
      이왕 공부해보신다면...
      1.y=sin(x)를 0부터 pi까지 적분
      ====> 그렇다면, x축과 sin(x)가 이루는 구간의 넓이가 되죠.
      2. 그리고, y=sin(x)를 단위넓이를 이용한 이중적분(동일한 구간에서)을 수행해보시면

      같은 결과가 나타납니다. 1번의 경우는 고등학교때의 정적분과 무한급수라는 단원을 생각해보면, 역시 x축의 간격이 일정(무한번 나누어서)한 그러나 높이는 sin(x)에 따라 다른 많은 사각형 넓비의 합으로 보는데요. 그래서, 한번적분으로 넓이가 나타나는 것이죠

      아.. 그리고, 제가 이와같은 적분을 기하학적으로 고민해본적이 없기때문에. 정확한 답변이라고 말씀드리기는 또한 어렵습니다. 제가 공부하는것과 좀 차이가 있거든요..ㅠㅠ... 하여간 snowgot님의 질문에 오랜만에 고민을 좀 했는데요. 좀 더 고민(^^)해봐야겠네요..^^

  6. apple pie 2010.06.27 09:22 신고

    좋은 자료 감사합니다. 한가지 궁금한 점이 있는데요, 이중적분으로 체적의 부피를 구하는 것과 삼중적분으로 부피를 구하는 것이 무슨 차이가 있나요?

    • BlogIcon PinkWink 2010.06.27 14:25 신고

      같은 대상의 부피를 구하는 것이라면, 삼중적분이나 이중적분이나 같은 결과가 나옵니다. 단지 최초 시작되는 식이 어디서 시작하는가의 차이입니다.또한, 특별한 몇몇 삼중적분의 경우 이중적분으로 변환이 가능하기도 합니다. 그러나 일반적으로는 2중적분은 (곡면) 넓이를 삼중적분은 부피를 의미합니다.

  7. 어느 창대인 2010.10.04 09:14 신고

    레포트를 하던 중.. 삼중적분을 검색했는데.. 이럴수가... 어디서 많이 본 홈페이지가 뜨더군요... 한편으로 반가운 마음에 댓글을 남기고... 글도 퍼갑니다. 수업 잘 듣고 있습니다.~

  8. 수학과 2011.05.18 20:50 신고

    이중적분 시에 F(x,y,z);함수값을 dy 에 대해 적분시킨 뒤(이 결과는 y축에 평행한 평면과의 등위면의 면적) dx 에 대해 적분 시키면 체적이 나오는 건 이해돼요. 그래서 적분식에 F(x,y,z) 표현에 고개가 끄덕여지는데..
    삼중적분은 xy평면에 사영 시킨 평면을 dz에 대해 적분 시키고
    dy 대해 적분시키고 dx에 대해 적분시키면 체적이 나온다! 말로는 이해되지만 적분식에 F(x,y,z) 표현을 이중적분할 때처럼 함수값이라고 생각하니까 말로도 그림으로도 이해가 안돼요. 왜그럴까요..ㅜ뭐가 틀리고부족한거죠????

    • BlogIcon PinkWink 2011.05.19 08:37 신고

      죄송합니다. 저도 원론적인 이야기말고는 이 부분에서는
      설명할 능력의 한계를 솔직히 느낍니다.
      원론적인 이야기라는 것은
      3차공간에서 곡면의 넓이를 구하는 것은
      단위넓이에 대해 적분한다(그래서 이중적분)
      3차공간에서 부피를 구하는 것은
      단위부피에 대해 적분한다(그래서 삼중적분)
      입니다.
      그 식을 풀어 쓰면 어떻게 되고 하는 기술적 문제는 넘어가고
      이 원론을 다시 기하학적으로 설명하는 것은
      전문적으로 강의하시는 교수님들께 개념을 여쭤보는게 좋을 것 같습니다.
      (이 글을 적은 당시 저는 박사과정의 시간강사였고, 또한 저의 전공분야도 아니었거든요...ㅠㅠ)
      큰 도움이 되어드리지 못해 죄송합니다.

  9. 수학과 2011.05.19 18:20 신고

    꼭 교수님께 여쭤볼게요!

  10. 미적미워ㅠ 2011.06.09 01:55 신고

    좋은 자료들이 많아서 스토킹 좀 할게요^^ㅎㅎ
    근데 공부를 시작한지 얼마 안되어서 그런지 이해가 안가는 부분이 있네요ㅠ
    원기둥좌표계삼중적분-에서는 왜 dA=drdθ일까요??
    극좌표계 이중적분에서는 dA=rdrdθ였던 것 같은데;;;
    꼭 한번씩은 기초적인데서 걸리네요ㅎㅎ

    • BlogIcon PinkWink 2011.06.09 08:03 신고

      말의 뜻대로 해석하시면 됩니다.

      단위 체적(dV)은 단위높이(dz)와 단위 면적(dA)을 곱하면 되고
      다시 단위면적(dA)은 면의 한쪽 길이(dr)와 단위부채꼴의 호의 길이 (r dtheta)를 곱했다고 생각하시면 됩니다.

  11. 미적미워ㅠ 2011.06.09 19:33 신고

    답변 감사드립니다~
    그런데 왜 마지막식이 F(r,θ,z) dz dr dθ 일까 하는거였어요^^:
    F(r,θ,z) r dz dr dθ 인 것 같은데 r 이 빠진 이유가 뭘까해서요ㅎㅎ

  12. BlogIcon 전기맨 2012.01.09 23:09 신고

    안녕하세요 전기공학을 전공하고있는 학부생입니다. 방학중에 전자기학을 복습하면서 구좌표계를 다시한번 보고있는데 한가지 이해가 되지 않는 부분이 있어서 질문드립니다. 구좌표계의 삼중적분 부분에서 한 선분의 길이가 로사인파이디쎄타 psin파이d쎄타 인데요 이게 어떻게 유도되는지 모르겠습니다.. 디쎄타 앞에 로사인파이를 붙여주는 이유가 뭘까요ㅠ

    • BlogIcon PinkWink 2012.01.10 09:18 신고

      d theta를 그냥 (아주 작은) 각도라고 보면,
      각도(d theta)에다가 rho를 곱하면, 원호의 길이가 됩니다. 거기에 sin phi를 곱했다는 것은 phi각도만큼 투영되었다는 뜻입니다.

  13. 별쥬스 2012.03.22 09:23 신고

    잘 읽고 갑니다~ 감사해요 :)

  14. Rool 2012.05.23 10:02 신고

    저기.. 간단한 문제인데 물어봐도 될까요?
    Find the volume V of the solid S bounded by the three coordinate planes, bounded above by the plane x+ y+ z = 2, and bounded below by the plane z = x+ y.
    이건데.. 덴장 고등학교떄 배웠던것 같은데, x,z,y전부 바운더리를 못잡겠어요..
    풀어주실 수 있으세요?

    • BlogIcon PinkWink 2012.05.24 09:35 신고

      ㅎㅎ. 글쎄요. 딱 1년 넘게 직장생활을 했을 뿐인데
      다시 시작할려면 저에게도 시간이 좀 걸릴듯한데요.
      도와드리지 못해 안타깝습니다.^^