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본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 공업수학 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 공업수학I 개정3판(고형준 외, 도서출판 텍스트북스)의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.

라플라스 변환

위에 라플라스변환의 정의가 나타나 있습니다.

라플라스변환의 정의를 이용해서 "1"을 라플라스변환한 결과입니다. 그러나, 위 정의식을 계속 사용한다는 것은 뭐 힘든일이겠지요^?^. 그래서

저와 같이 변환표를 이용합니다.

Laplace Transform -1.pdf

라플라스 역변환

위는 라플라스 역변환표입니다. 뭐 당연히 라플라스 변환표의 반대겠지요^^. 라플라스 역변환의 정의는 아주 복잡해서 손으로 푸는 것은 어렵습니다. 그래서 위 역변환표에 가장 가까운 형태로 식의 형태로 바꾸어가는 겁니다.

위의 예제를 보면 무슨 말인지 알 수 있을겁니다.

위 예제는 항별나누기를 이용해서 식을 분리하고, 라플라스 변환이 가지는 선형성을 이용해서 각각을 역변환하는 것입니다.

위 예제는 흔히 말하는 유수정리(Residue Theorem)의 부분분수 전개를 이용한 것입니다. 보통은 위 전개방식은 분모를 영으로 만드는 것을 대입한다고 외웁니다.^^.

이 라플라스 변환과 역변환은 미방의 풀이에 큰 장점을 가지게 되는데요 일단 도함수를 변환하면 위 정리와 같습니다.

미방을 라플라스 변환하고 대수방정식화된 식의 해를 찾고 다시 역변환하는 과정을 거치게 됩니다.

위 간단한 예를 보면

위와 같이 초기값을 고려하여 라플라스변환하고 라플라스변환된 식을 푼다음 다시 역변환으로 그 해를 찾는 것입니다.

Laplace Transform -2.pdf

Translation Theorem

시간영역에서 지수함수는 라플라스 변환을 하고 나면 단순 평행이동이 되어있습니다.

이를 이용하면 위 예제들 역시 간단히 그 해를 찾을 수 있습니다.

Laplace Transform -3.pdf

Derivatives of Transforms

시간영역에서 시간의 급수형태의 함수를 라플라스변환하면 라플라스 도메인 영역에 대한 미분형태로 나타나게 됩니다.

Laplace Transform -4.pdf


댓글을 달아 주세요

  1. BlogIcon 멀티라이프 2009.09.04 15:51 신고

    이 자식,, 라플라스 변환...날 괴롭히던걸 생각하면 후후 ㅡ.ㅡ;;

  2. BlogIcon gk 2009.09.16 09:58 신고

    이거슨 먹는것임?ㅎㅎㅎㅎㅎㅎ

  3. BlogIcon DevJin 2010.04.23 13:15 신고

    부탁이 하나 있는데요..
    혹시 시간있으시면.. 제 라플라스변환 문제좀 풀어주시면 안될까요..
    9문제인데 전 완전 모르겠어서 이게 어려운건지 쉬운건지도 몰라서..
    정말 부탁드립니다..;; 조금만이라도..흑흑
    수고하세요 ㅎ

    • BlogIcon PinkWink 2010.04.24 06:41 신고

      어려울것 같습니다.. ㅜㅜ
      대부분의 블로그들이 질문과답변 게시판이 없는 이유는 자신의 포스팅내에서 공유와 간단한 질문에 답변을 유지하고 토론하는 것이기 때문인가요??^^
      일단 어렵다고 하신 문제를 포스팅해보시면, 제가 보긴 하겠습니다 (저한테 트랙백을 보내세요. 관련글에... )
      그러나 단 한 문제도 못풀어드릴수도 있습니다...^^

  4. BlogIcon devjin 2010.04.24 14:20 신고

    글올렸습니다.. 트랙백이 이게 맞는건지 잘몰라서요..ㅎ
    어쨋든 관심가져주셔서 감사합니다.
    어떻게든 열심히 풀도록 노력해봐야죠.
    아 그리고 핑크윙크님이 올려주신글이 많이 도움이 되네요.
    정말 여기는 저에겐 보물단지 같은 곳 입니다.ㅎㅎ

  5. Ascii 2010.06.05 20:07 신고

    쥔장님 좋은 글 많이 읽던도중 궁금한게 생겼는데 질문좀 하겠습니다..^^;;
    그 라플라스 역변환에서 부분분수 나누는 부분에서요, 분모를 0으로 만는것 같은 모양인데요, 만약 중근이 분모에 있다면 어떻게 되는지 궁금합니다~

    • BlogIcon PinkWink 2010.06.05 20:31 신고

      실제 유수정리에서 사용할 수도 있지만,
      그와 같은 경우는

      A s + B
      -------------
      (s + a )^2

      이렇게 두고 전개해서 항등식의 풀이를 가지는 것도 괜찮습니다.^^

  6. Ascii 2010.06.05 20:14 신고

    한개만 더요..^^;;;;;
    부분 분수 나누는 부분에 관한거 한개 더 인데여,,,
    만약 분모에 허수근을 갖는 형태 그러니까 (s^2 + 1) 이런형태가 껴있으면
    어떻게 해야 하나요,,??? 바쁘신데 궁금한게 많아서 죄송해요^^;;;

    • BlogIcon PinkWink 2010.06.05 20:31 신고

      변환공식 중 그와 같은 경우를 가지는 것이 sin과 cos이 있습니다. 즉, 말씀하신 형태에서 더 진행하는 것이 아니라 그 상태에서 역변환을 시도하시면 됩니다.

  7. Ascii 2010.06.05 20:33 신고

    우왕.. 감사해요 많이 알고 가여..^ㅡ^ (꾸벅)