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[공업수학] 역행렬 (Inverse Matrix)

category Theory/Lecture 2009.09.23 20:26

본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 공업수학 수업 자료입니다.
본 자료는 수업의 교재인 
공업수학I 개정3판 (고형준 외, 도서출판 텍스트북스) 의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.


역행렬의 정의


A의 역행렬은 곱해서 단위행렬이 나오게 하는 행렬입니다. 이번에는 그 역행렬을 구하는 2가지 방법에 대해 이야기 하겠습니다. 이를 이용하여 연립방정식의 해를 구하는 과정을 다뤄봅니다. 마지막으로 Cramer의 정리를 이용하여 연립방정식의 해를 구하는 과정도 다뤄봅니다.

Adjoint(딸림) 행렬을 이용하여 역행렬 구하기
행렬 A의 Adjoint 행렬을 adj A라고 할때 그 행렬식(det A)을 같이 이용하여 역행렬을


위와 같이 구할 수 있습니다. 이 때 adj A는

 
위에서 처럼 여인수(cofactor)행렬의 전치(transpose)행렬입니다. 


위를 보시면 행렬 A와 그 adj A를 서로 곱하면 det A가 곱해진 단위행렬이 된다는 사실을 알 수 있습니다. 그러니 다시 det A로 나눠주면 역행렬의 정의를 만족하게 되는 것입니다. 만약 det A가 '0'이라면 그 역행렬은 존재하지 않습니다.

 
(예제)



소거법을 이용하여 역행렬 구하기


A행렬과 단위행렬을 위와 같이 배치하고 A행렬이 있는 자리를 단위행렬로 만들게끔 소거법을 진행하면 단위행렬이 있는 자리에 나타나는 행렬이 그 역행렬이 됩니다.

 
(예제)

 
의 역행렬을 소거법으로 구해보면

 
의 단계를 진행할 수 있고

 
그 역행렬을 찾을 수 있게 됩니다. 이렇게 소거법을 진행하다 보면 마지막 행이 모두 영으로 채워지는 경우는 역행렬이 존재하지 않는 다고 생각하면 됩니다.


역행렬을 이용하여 연립방정식의 해 구하기
연립방정식

 
에 대해 각 행렬을 잡아보면

 
위와 같을 것입니다. 이때 A행렬을

 
역행렬을 찾아서 미지수 행렬 X를 찾을 수 있습니다.

Cramer의 방법을 이용하여 연립방정식의 해를 구하기
간단한 연립방정식 문제를 보면

 
에서 적절히 위 연립을 풀어서 정리하면

 
입니다. 이때 각 x1, x2의 분모 분자를 관찰해보면

 
로 표현할 수 있음을 알 수 있습니다. 이로서... 


Cramer의 정리를 확인할 수 있습니다. 위 정리에서 Ak 행렬은

 
B행렬을 k번째 열과 교체한 것입니다.
 
(예제)

 
를 Cramer의 정리로 해결해 보면

 
입니다. 



참고자료 :

08 Matrix 03.pdf






댓글을 달아 주세요

  1. 영웅전쟁 2009.09.24 11:29 신고

    역행렬....
    다들 어려워했는데
    저는 엄청 재미있었든 분야인데 ㅎㅎ
    잘보고 갑니다.

  2. 박재원 2009.11.02 22:14 신고

    창원대학교 메카트로닉스 공학부학생입니다
    cramer법칙이 뭔가 하고 검색해봤는데, 우리학교 이름이 나와서 너무 반갑네요,
    참 쉽게 설명해주셔서, 감사합니다.
    내일 100점 받으께요!!

    • BlogIcon PinkWink 2009.11.03 02:51 신고

      내일 아니.. 오늘 시험치시는 모양이네요...
      잘 보셨다니 제가 오히려 감사하군요...
      네~ 좋은 결과 있기를 바랍니다^^

  3. BlogIcon yu joon c. 2009.12.09 06:58 신고

    예, 전에 올린 질문, 제가 착각, 죄송합니다. 아주 좋은 싸이트 만드신 것 치하드립니다. 다 읽어보겠읍니다. 그리고 전에 다항식의 행렬표시는 행렬의 개념을 한마디로 이해하려는 학생들이 많아 참고로 올린 것. 이곳 싸이트 작성자를 대상으로 한게 아닌 것. 양해바람니다. 연말연시 복받으시고.

  4. 공업수학신 2010.04.04 06:34 신고

    어드조인트 M이 뭔가 했더니 여인자행렬의 트랜스포즈 였군요.

    교수님이 영어로 읽으시니 한글로 뭐라고 발음하는지는 모르겠고

    그냥 따라 읊습니다 ㄷㄷ

    회로이론 교수님이 크래머 법칙 하나면 다 된다고 딴거 왜 쓰냐고

    크래머가 최고라고 침이 튀도록 말하시던게 생각나네요.

    제가 봐도 크래머가 최고같아요 -_-;

    이것도 잘 봤습니다.

  5. ㅇㅇㅇ 2010.04.21 12:50 신고

    detA가 왜 12인지 도무지 모르겠습니다

  6. 2010.12.07 03:07

    비밀댓글입니다

  7. NanoSpeedz 2011.04.16 15:21 신고

    ㅜㅜ 할줄은 알겠는데 이식을 어디다 쓰는지모르겠어요.. 그걸알아야 재밋을텐데 ㅜㅠㅜㅠ 알려주세요~

    • BlogIcon PinkWink 2011.04.17 10:13 신고

      사실 공업수학은 운동으로 따지면 기초체력을 기르는것과 같습니다.
      그래서 정확히 이 장(chapter)은 어디어디에 쓰인다고 정확히 말하기 어렵습니다. 특히나 강의하시는 분의 정공에 따라 강의내용이 많이 달라지기도 합니다. 역행렬은 저의 경우 기구학적 해석이나 동역학의 유도에서 많이 사용되고 있습니다. 이렇게 말해도 이상하게 느껴지죠?^^ 기초체력을 기른다고 생각하시고 지루해도 잠시만 참아보세요^^

  8. mechanic 2012.05.27 16:04 신고


    좋은 정보 감사합니다.
    부산대학교에서 기계공학 전공하고 있는 학부생입니다.

    수치해석 공부하다가 우연히 블로그 들렀는데,
    정말 이해하기 쉽게 잘 정리되어 있어요.

    감사합니다. ^^

  9. BlogIcon 지지 2015.03.10 14:17 신고

    덕분에 많이 알아갑니다~ 진짜 큰 도움 됐어요!
    강의 시간에 배우고나서는 어벙벙했는데 여기 설명 보면서 차근차근 따라가니 해결됐어요~! 감사합니다 ^~^