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얼마전에 보드선도를 그리는 것에 대한 기초를 이야기[바로바기] 했었는데요. 그 때 그 글에서 보여주었던 예쁘장한(^^) 그래프는 Python에서 그렸었습니다. 오늘은 Bode 선도를 Python에서 어떻게 그리는가와 그 때 그 글에서처럼 그래프로 표현을 어떻게 하는가를 이야기할까 합니다.^^

import numpy as np
from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt

일단 수치연산에서는 뭐 필수라고 하는 numpy와 그래프 표현에 필요한 matplotlib를 import하구요. 추가로 scipy의 signal을 import 하도록 하겠습니다. 그리고, 나서

s1 = signal.lti([1], [1, 1])
w, mag, phase = signal.bode(s1, np.arange(0.01, 100.0, 0.01).tolist())

signal의 lti를 이용해서 

를 표현합니다. 아... a=1이라고 생각했습니다.^^ 그리고 나서 signal의 bode 명령으로 원하는 주파수 범위와 주파수 간격을 정해주면 주파수축(w)과 크기(mag), 위상(phase)을 얻을 수 있습니다.^^. 남은건 그저 저 아이를 그리는 것 뿐입니다. 너무 간단하죠^^

plt.figure(figsize=(15,8))
plt.subplot(2,1,1)
plt.semilogx(w, mag, lw=5)    # Bode magnitude plot

plt.ylim([-40, 1])
plt.xlabel('Hz')
plt.ylabel('Magnitude (dB)')
plt.grid(True)

plt.subplot(2,1,2)
plt.semilogx(w, phase, lw=5, label="real bode plot")  # Bode phase plot

plt.xlabel('Hz')
plt.ylim([-91, 1])
plt.ylabel('Phase (deg)')
plt.grid(True)
plt.show()

한 그림에 크기위 위상을 표현하는 것이고, 보기 좋은 범위로 좀 잘랐습니다. 아~ x축이 로그스케일(log scale)이어서 semilogx라는 명령으로 plot을 했습니다. 그 결과는

와 같습니다^^. 딱~ 봐도 이제는 [바로가기]에서 설명했으니~ 아시겠죠. 그런데 가끔은 이런 지식의 습득도 코드로 확인해보면 정확하게 이해될때가 있습니다.

plt.figure(figsize=(15,5))
plt.semilogx(w, mag, lw=5)    # Bode magnitude plot

plt.plot([0.01, 1, 100], [0, 0, -40], 'r--', lw=5)

plt.annotate('Break Point ($ \omega = a $)', xy=(1,0), xytext=(4,-3), size=15, 
             arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.04))
plt.plot(1, 0, 'k', linestyle=' ', marker='o', markersize=10) 
plt.annotate('-20dB/decade', xy=(5,-15), xytext=(1,-25), size=15, 
             arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.04))
plt.annotate('Actual curve is -3dB below breakpoint', xy=(w[99],mag[99]), 
             xytext=(0.1,-15), size=15, arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.04))
plt.plot(w[99], mag[99], 'k', linestyle=' ', marker='o', markersize=10) 

plt.text(0.05, -30, r"$ H(S)= \frac{a}{s+a} $", size=30,
     horizontalalignment='center', verticalalignment='center')

plt.ylim([-40, 1])
plt.ylabel('Magnitude (dB)')
plt.grid(True)

plt.figure(figsize=(15,5))
plt.semilogx(w, phase, lw=5, label="real bode plot")  # Bode phase plot

plt.plot([0.01, 1/5, 5, 100], [0, 0, -90, -90], 'r--', lw=5, label="aymptote line")

plt.axvline(1/5, color='k', lw=2, ls='dashed')
plt.axvline(5*1, color='k', lw=2, ls='dashed')
plt.annotate('$ \omega = a/5 $', xy=(1/5, -90), xytext=(0.1,-80), 
             size=15, arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.04))
plt.annotate('$ \omega = 5a $', xy=(5*1, -90), xytext=(10,-80), 
             size=15, arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.04))
plt.annotate('Break Point ($ \omega = a $)', xy=(1,-45), xytext=(3,-15), size=15, 
             arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.04))
plt.plot(1, -45, 'k', linestyle=' ', marker='o', markersize=10) 

plt.text(0.05, -60, r"$ H(S)= \frac{a}{s+a} $", size=30,
     horizontalalignment='center', verticalalignment='center')

plt.ylim([-91, 1])
plt.ylabel('Phase (deg)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

예를 들면 위 코드처럼 말이죠. 학습하는 공식을 이용해서 방금 그래프 위에 주석들을 달아보는거죠^^ 뭐.. 물론 잉여스러운 일이긴 합니다만^^

그렇게 해서 얻은 그래프 중 크기(mag) 부분이네요^^

이번에는 2차계를 표현해볼까요^^

zeta = np.array([0.05, 0.15, 0.5])
s1 = signal.lti([1], [1, 2*zeta[0], 1])
s2 = signal.lti([1], [1, 2*zeta[1], 1])
s3 = signal.lti([1], [1, 2*zeta[2], 1])

w, mag1, phase1 = signal.bode(s1, np.arange(0.01, 100.0, 0.01).tolist())
w, mag2, phase2 = signal.bode(s2, np.arange(0.01, 100.0, 0.01).tolist())
w, mag3, phase3 = signal.bode(s3, np.arange(0.01, 100.0, 0.01).tolist())

2차계는 zeta의 값에 따른 변화가 있으므로 대표적으로 3개 정도 값으로 해서 구하도록 하겠습니다.

plt.figure(figsize=(15,8))
plt.subplot(2,1,1)
plt.semilogx(w, mag1, lw=5, color="blue", label="$ \zeta = 0.05 $")    # Bode magnitude plot
plt.semilogx(w, mag2, lw=5, color="green", label="$ \zeta = 0.15 $")
plt.semilogx(w, mag3, lw=5, color="cyan", label="$ \zeta = 0.5 $")
     
plt.legend()
plt.xlabel('Hz')
plt.ylim([-81, 30])
plt.ylabel('Magnitude (dB)')
plt.grid(True)

plt.subplot(2,1,2)
plt.semilogx(w, phase1, lw=5, color="blue", label="$ \zeta = 0.05 $")  # Bode phase plot
plt.semilogx(w, phase2, lw=5, color="green", label="$ \zeta = 0.15 $")
plt.semilogx(w, phase3, lw=5, color="cyan", label="$ \zeta = 0.5 $")

plt.legend()
plt.grid(True)
plt.ylim([-185, 5])
plt.xlabel('Hz')
plt.ylabel('Phase (deg)')
plt.show()

위 코드로 plot을 해보면

이렇게 이쁘게 얻을 수 있습니다. Python에서는 plot 명령에 옵션으로 label을 지정하면 손 쉽게 legend를 표현할 수 있습니다. 여기서 좀 더 양념을 치면~

import matplotlib.patches as patches

zeta = np.array([0.05, 0.15, 0.5])
s1 = signal.lti([1], [1, 2*zeta[0], 1])
s2 = signal.lti([1], [1, 2*zeta[1], 1])
s3 = signal.lti([1], [1, 2*zeta[2], 1])

w, mag1, phase1 = signal.bode(s1, np.arange(0.01, 100.0, 0.01).tolist())
w, mag2, phase2 = signal.bode(s2, np.arange(0.01, 100.0, 0.01).tolist())
w, mag3, phase3 = signal.bode(s3, np.arange(0.01, 100.0, 0.01).tolist())

plt.figure(figsize=(15,5))
plt.semilogx(w, mag1, lw=5, color="blue", label="$ \zeta = 0.05 $")    # Bode magnitude plot
plt.semilogx(w, mag2, lw=5, color="green", label="$ \zeta = 0.15 $")
plt.semilogx(w, mag3, lw=5, color="cyan", label="$ \zeta = 0.5 $")

plt.plot([0.01, 1, 100], [0, 0, -80], 'r--', lw=5)
plt.annotate('Break Point ($ \omega = \omega_{n} $)', xy=(1,0), xytext=(0.05,-20), size=15, 
             arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.04))
plt.axvline(1, color='k', lw=3, ls='dashed')

plt.plot(1, 0, 'k', linestyle=' ', marker='o', markersize=10) 
plt.annotate('-40dB/decade', xy=(5,-25), xytext=(10,-15), size=15, 
             arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.04))
             
currentAxis = plt.gca()
currentAxis.add_patch(
    patches.Rectangle(
        (0.5,-75), 1.5, 100,
        fill=False, edgecolor='black', linewidth=3, linestyle='dotted', zorder = 10
    )
)
plt.annotate('Resonant Peak : $ 1/(2 \zeta ) $', xy=(2,20), xytext=(4,20), size=15, 
             arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.04))
plt.text(10,10, 'Actual Max. : $ 1/ ( 2 \zeta \sqrt{ 1-\zeta^2 } ) $', 
         size=15, horizontalalignment='center', verticalalignment='center') 

plt.text(0.05, -60, r"$ H(S)= \frac{\omega_n^2 }{(s^2 +2\zeta\omega_n s + \omega_n^2)} $", 
         size=30, horizontalalignment='center', verticalalignment='center') 
     
plt.ylim([-81, 30])
plt.ylabel('Magnitude (dB)')
plt.legend()
plt.grid(True)

plt.figure(figsize=(15,5))
plt.semilogx(w, phase1, lw=5, color="blue", label="$ \zeta = 0.05 $")  # Bode phase plot
plt.semilogx(w, phase2, lw=5, color="green", label="$ \zeta = 0.15 $")
plt.semilogx(w, phase3, lw=5, color="cyan", label="$ \zeta = 0.5 $")

plt.annotate('Break Point ($ \omega = \omega_{n} $)', xy=(1,-90), xytext=(3,-30), size=15, 
             arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.04))
plt.plot(1, -90, 'k', linestyle=' ', marker='o', markersize=10) 

plt.text(0.05, -120, r"$ H(S)= \frac{\omega_n^2 }{(s^2 +2\zeta\omega_n s + \omega_n^2)} $", 
         size=30, horizontalalignment='center', verticalalignment='center') 

plt.legend()
plt.grid(True)
plt.ylim([-185, 5])
plt.ylabel('Phase (deg)')
plt.show()

위 코드의 결과는

크기와

위상을 이렇게 그리도록 한 것입니다. 특히 화면상에 box를 matplotlib의 patches을 이용했습니다.~ 뭐 그냥 메인 그림만 그려서 power point같은 곳에서 해도 되지만, 추후 수정하는 것을 생각하면 요런 스타일도 괜찮지 않을까 해요^^