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Python에서 구현해 보는 1차 저역통과필터[바로가기]를 이야기했었는데요. 제가 블로그에서 저역통과필터는 많이 이야기했지만, 고역통과필터는 그에 반해 별이야기를 안했더군요. 사실 일반적으로는 신호의 노이즈 등을 제거하는 용도로 저역통과필터를 많이 사용하기 때문에 상대적으로 고역통과필터는 좀 들 다뤄지긴 한듯 합니다. 그래서 이번에는 1차 고역통과필터를 Python에서 구현하는 방법에 대해 이야기를 하겠습니다. 그런데 많은 내용이 지난번 글[바로가기]과 꽤 겹칩니다.^^

연속시간 영역에서의 1차 고역통과필터

사실 저역과 고역통과필터는 꽤 닮았습니다. 1차 고역통과필터의 라플라스 표현은

입니다. 여기서 tau를 구하는 방법은

에서

를 이용하면 차단주파수를 결정하고 난 후 tau를 구할 수 있습니다.

만약 100Hz라고 하면 tau는 위와 같습니다.

그러면 위의 고역통과필터를 구할 수 있습니다. 이 필터의 Bode Plot을 그려보면....

입니다. 딱 저역통과필터와 좌우대칭이죠^^

f_cut = 100
w_cut = 2*np.pi*f_cut
tau = 1/w_cut

num = np.array([tau, 0])
den = np.array([tau, 1.])
w, h = sig.freqs(num, den, worN=np.logspace(0, 5, 1000))

plt.figure(figsize=(12,5))
plt.semilogx(toHz(w), 20 * np.log10(abs(h)))
plt.axvline(f_cut, color='k', lw=1)
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Amplitude response [dB]')
tmpTitle = 'High Pass Filter, cutoff freq. at ' + str(f_cut) + 'Hz in continuous'
plt.title(tmpTitle)
plt.xlim(1, Fs/2)
plt.grid()
plt.show()

이를 그린 Python 코드입니다. numpy는 np로 import했고, matplotlib.pyplot은 plt로 import 했습니다.

연속시간 영역에서의 1차 고역통과필터를 이산 시간 영역에서 구하기

위에서 구한 연속시간에서의 고역통과필터를 이산시간의 표현으로 바꾸고, 이를 z-domain에서 표현해 보도록 하죠^^

먼저 애초의 이 식을...

정리한 후~~

역변환하면 위와 같이 연속시간의 함수로 표현될 겁니다. 이를~~

차분방정식으로 표현하고~

정리한 다음~~~ z 변환해 주면 됩니다.^^

이런 공식으로 나타났네요^^

tau와 ts(ts=10000)를 대입하고서 보니 위와 같은 z-domain의 전달함수를 얻었습니다.

s-domain에서의 결과와 겹쳐 그려보니 비슷하네요~^^

num_z = np.array([tau/(tau+Ts), -tau/(tau+Ts)])
den_z = np.array([1., -tau/(tau+Ts)])

wz, hz = sig.freqz(num_z, den_z, worN=10000)

plt.figure(figsize=(12,5))
plt.semilogx(toHz(wz*Fs), 20 * np.log10(abs(hz)), 'r', label='discrete time')
plt.semilogx(toHz(w), 20 * np.log10(abs(h)), 'b--', label='continuous time')
plt.axvline(f_cut, color='k', lw=1)
plt.axvline(Fs/2, color='k', lw=1)
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Amplitude response [dB]')
tmpTitle = 'High Pass Filter, cutoff freq. at ' + str(f_cut) + 'Hz in discrete'
plt.title(tmpTitle)
plt.xlim(1, Fs/2)
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()

디지털 필터 구현하기

이제 z-domain에서 구현된 함수까지 있으니.. 살짝 어떻게 코드로 구현할 것인지 보죠^^

먼저 Direct II Form입니다. 저기서 나오는 계수들을 구하면 되죠. 뭐 1차니까 a2와 b2는 영일겁니다.^^

위의 z domain에서의 식에서 계수를 바로 구할 수 있습니다. 위와 같이 말이죠^^ 혹은 차분 방정식으로 바로 구현할 수도 있습니다. 

def direct2FormModel(data, a1, a2, b0, b1, b2):
    from numpy import zeros, arange
    
    result = zeros((len(data),))
    timeZone = zeros((len(data),))
    
    for n in arange(2, len(data)):
        sum0 = -a1*timeZone[n-1] - a2*timeZone[n-2]
        timeZone[n] = data[n] + sum0
        result[n] = b0*timeZone[n] + b1*timeZone[n-1] + b2*timeZone[n-2]
        
    return result
    
def differentialEqForm(data, a1, a2, b0, b1, b2):
    from numpy import zeros, arange
    
    result = zeros((len(data),))
    
    for n in arange(2, len(data)):
        result[n] = b0*data[n] + b1*data[n-1] + b2*data[n-2] - a1*result[n-1] - a2*result[n-2]
        
    return result

위 함수는 저역통과필터 때도 보여드렸던 함수로 direct2ForModel은 위 그림의 Direct II Form을 구현한 것이고 혹은 그냥 차분방정식의 형태로도 구현된 것입니다.^^ 

시험 신호는 [바로가기]에서 구현한 것을 그대로 사용하도록 하죠^^

시험 신호를 FFT한 것입니다.

이제 

num_z = np.array([tau/(tau+Ts), -tau/(tau+Ts)])
den_z = np.array([1., -tau/(tau+Ts)])

a1 = den_z[1]
a2 = 0
b0 = num_z[0]
b1 = num_z[1]
b2 = 0.

filteredSig = differentialEqForm(inputSig, a1, a2, b0, b1, b2)
draw_FFT_Graph(filteredSig , Fs, title='direct2FormModel', xlim=(0, 500))

FFT를 적용해보면 간단하게 HPF가 제 동작을 한다는 것을 알 수 있습니다.

고주파수 대역만 남겨두고 저주파는 걸렀기 때문에 위 그림의 빨간색처럼 낮은 주파수 성분이 사라진 것을 알 수 있습니다.

# -*- coding: utf-8 -*-

def toHz(value):
    from numpy import pi
    return value/2/pi
    
def direct2FormModel(data, a1, a2, b0, b1, b2):
    from numpy import zeros, arange
    
    result = zeros((len(data),))
    timeZone = zeros((len(data),))
    
    for n in arange(2, len(data)):
        sum0 = -a1*timeZone[n-1] - a2*timeZone[n-2]
        timeZone[n] = data[n] + sum0
        result[n] = b0*timeZone[n] + b1*timeZone[n-1] + b2*timeZone[n-2]
        
    return result
    
def differentialEqForm(data, a1, a2, b0, b1, b2):
    from numpy import zeros, arange
    
    result = zeros((len(data),))
    
    for n in arange(2, len(data)):
        result[n] = b0*data[n] + b1*data[n-1] + b2*data[n-2] - a1*result[n-1] - a2*result[n-2]
        
    return result
    
def filterSimpleHPF(data, tau, Ts):
    from numpy import zeros, arange
    
    result = zeros((len(data),))
    
    for n in arange(1, len(data)):
        result[n] = (tau*result[n-1] + tau*(data[n]-data[n-1]))/(tau + Ts)
        
    return result
    
def draw_FFT_Graph(data, fs, **kwargs):
    from numpy.fft import fft
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    graphStyle = kwargs.get('style', 0)
    xlim = kwargs.get('xlim', 0)
    ylim = kwargs.get('ylim', 0)
    title = kwargs.get('title', 'FFT result')
    
    n = len(data)
    k = np.arange(n)
    T = n/fs
    freq = k/T 
    freq = freq[range(int(n/2))]
    FFT_data = fft(data)/n 
    FFT_data = FFT_data[range(int(n/2))]
    
    plt.figure(figsize=(12,5))
    if graphStyle == 0:
        plt.plot(freq, abs(FFT_data), 'r', linestyle=' ', marker='^') 
    else:
        plt.plot(freq,abs(FFT_data),'r')
    plt.xlabel('Freq (Hz)')
    plt.ylabel('|Y(freq)|')
    plt.vlines(freq, [0], abs(FFT_data))
    plt.title(title)
    plt.grid(True)
    plt.xlim(xlim)
    plt.ylim(ylim)
    plt.show()

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.signal as sig

# Create Test Signal
Fs = 20*10**3               # 20kHz
Ts = 1/Fs                   # sample Time
endTime = 2
t = np.arange(0.0, endTime, Ts)

inputSig = 3.*np.sin(2.*np.pi*t)

sampleFreq = np.arange(10,500,50)

for freq in sampleFreq:
    inputSig = inputSig + 2*np.sin(2*np.pi*freq*t)
    
plt.figure(figsize=(12,5))
plt.plot(t, inputSig)
plt.xlabel('Time(s)')
plt.title('Test Signal in Continuous')
plt.grid(True)
plt.show()

draw_FFT_Graph(inputSig, Fs, title='inputSig', xlim=(0, 500))

# Design 1st Order Low Pass Filter
f_cut = 100
w_cut = 2*np.pi*f_cut
tau = 1/w_cut

num = np.array([tau, 0])
den = np.array([tau, 1.])
w, h = sig.freqs(num, den, worN=np.logspace(0, 5, 1000))

plt.figure(figsize=(12,5))
plt.semilogx(toHz(w), 20 * np.log10(abs(h)))
plt.axvline(f_cut, color='k', lw=1)
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Amplitude response [dB]')
tmpTitle = 'High Pass Filter, cutoff freq. at ' + str(f_cut) + 'Hz in continuous'
plt.title(tmpTitle)
plt.xlim(1, Fs/2)
plt.grid()
plt.show()

# Design 1st Order Low Pass Filter Z-Transform
num_z = np.array([tau/(tau+Ts), -tau/(tau+Ts)])
den_z = np.array([1., -tau/(tau+Ts)])

wz, hz = sig.freqz(num_z, den_z, worN=10000)

plt.figure(figsize=(12,5))
plt.semilogx(toHz(wz*Fs), 20 * np.log10(abs(hz)), 'r', label='discrete time')
plt.semilogx(toHz(w), 20 * np.log10(abs(h)), 'b--', label='continuous time')
plt.axvline(f_cut, color='k', lw=1)
plt.axvline(Fs/2, color='k', lw=1)
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Amplitude response [dB]')
tmpTitle = 'High Pass Filter, cutoff freq. at ' + str(f_cut) + 'Hz in discrete'
plt.title(tmpTitle)
plt.xlim(1, Fs/2)
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()

# Implementation Signal
a1 = den_z[1]
a2 = 0
b0 = num_z[0]
b1 = num_z[1]
b2 = 0.

filteredSig1 = filterSimpleHPF(inputSig, tau, Ts)
filteredSig2 = differentialEqForm(inputSig, a1, a2, b0, b1, b2)
filteredSig3 = direct2FormModel(inputSig, a1, a2, b0, b1, b2)

draw_FFT_Graph(filteredSig1, Fs, title='filterSimpleHPF', xlim=(0, 500))
draw_FFT_Graph(filteredSig2, Fs, title='differentialEqForm', xlim=(0, 500))
draw_FFT_Graph(filteredSig3, Fs, title='direct2FormModel', xlim=(0, 500))

plt.figure(figsize=(12,5))
plt.plot(t, inputSig)
#plt.plot(t, filteredSig1, 'k', label='SimpleHPF')
#plt.plot(t, filteredSig2, 'c', label='DE')
plt.plot(t, filteredSig3, 'r', label='D2F')
plt.xlabel('Time(s)')
plt.title('Filtered Signal in Discrete')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

오늘 사용한 Python 전체코드입니다.^^

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