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[공업수학] 선형방정식

category Theory/Lecture 2010.03.30 08:22

선형방정식

위에 동차(homogeneous)와 비동차 방정식의 형태를 보이고 있습니다.

흔히 말하는 미분연산자는 위에서처럼 d/dx를 이야기하는데요

위와 같이 미분을 의미합니다.

위의 표현역시 가능하지요^^

이제

위의 미분방정식에서요.

이미 y1, y2의 해가 밝혀졌다고 하지요. 그러면 선형성(관련글)에 의해

의 형태도 해가 됩니다. 이를 이용하면 비동차방정식의 일반해를 찾는데 큰 도움이 됩니다.

위에서 동차일때의 해과, 특이해의 선형조합의 형태가 전체 일반해가 되거든요.

계수 낮추기

위 문제에서 하나의 해가 y1이라고 해두죠. 다른 해를 u*y1의 형태라고 생각하면

y'와 y''를 구해서 대입해볼 수 있습니다.

그렇게 정리된 식에서 u''와 u'를 줄이기 위해

w를 이용하여, 표현하고 나면, 간단히 1계미방이 되어서 해를 찾을 수 있습니다.

그러면 위와 같이 해를 정의할 수 있겠지요.

위는 2계 미방의 표준형이라고 볼 수 있습니다.

이미 해하나(y1)가 밝혀진 상황에서 방금 예제에서 처럼 정리해나가면

이와같은 결과인데요. 여기서 y1''+Py1'+Qy1은 이미 밝혀진 해(y1)에 의한 표현이니 '0'이 되구요

위의 결과에서 변수분리형으로 표현이 되었으니

간단히 이렇게 공식화가 가능해집니다. 간단한 예를 들면

공식을 적용한 예입니다. 공식으로 푸느냐? 유도하는 과정을 거치느냐? 글쎄요... 개인적인 생각으론 둘다 알면 좋겠다인데요^^

03-01. 예비이론- 선형방정식.pdf


댓글을 달아 주세요

  1. BlogIcon mrkiss 2010.03.30 14:38 신고

    가르치시는 학생들 보라고 써 놓으신 글에 엉뚱한 사람이 와서 토를 다는것 같지만 제 소박한 바램도 올려봅니다. ^^
    수학이 어려운건 '왜? '라는 설명이 배제된채 공식을 전개하는걸 주로 배우기 때문이 아닌가 싶어요.
    어떤 현실의 문제를 해결하는데 이런 수학이 필요한지를 알면 공식의 기호들이 실제로는 어떤 것을 의미하는지도 알게 되고 공부할 의욕도 더 높여줄것 같습니다.
    수학을 트라우마처럼 안고 사는 저는, 직업과 무관하게 죽기 전에 수학을 '잘'해보고 싶은 바램이 간절합니다.

    • BlogIcon PinkWink 2010.03.30 15:31 신고

      댓글 감사합니다...
      항상 저도 고민합니다...
      (학생들은 안믿겠지만...ㅜ.ㅜ)
      그러나 작은 변명하나 하자면...
      현재 설명하고 있는 부분들을 실생활에 응용되고 있음을 보이는 예를 찾지 못했기 때문입니다.ㅜ.ㅜ
      이 절의 내용은 다음 절을 공부하는 것에 도움이 되고 무엇을 위해 공부하는 것이다는 쉽게 알려줄 수 있는데
      실제 공업수학이 사용되는 곳은
      전공마다 너무 다르기 때문입니다.
      물론 저와 동일한 전공을 공부하는 학생들에게는 이것이 어디어디 사용됨을 이야기해볼수있겠지만..
      요즘처럼 타 전공학생들 수업을 많이 하는 경우는 참 애매하더군요...
      또 공업수학이라는 과목을 배움으로서 이후 동역학, 혹은 자동제어, 디지털제어, 전자기학 등등에 사용된다고 이야기하는것은 가능해도 역시.. 실생활과는...ㅜ.ㅜ

      부족함을 많이 느낀답니다...

      하여간 고민하고 있다는 말로 답글을 끝내기는 좀 그렇지만...
      네... 하여간 더욱 고민해보겠습니다.^^

  2. BlogIcon 라라윈 2010.04.01 04:28 신고

    정녕 선형방정식인가요...
    단순한 회귀식 같은 식을 생각하며 클릭했다가 화려한 수식에 깜짝 놀랐어요...^^;;;
    예전에 무슨 공식에서인지 ln이 나와서 무척 헤매다가
    몰라서 그 공식은 패스해버린 적이 있는데
    ln은 뭐에요...?? @_@

    • BlogIcon PinkWink 2010.04.01 22:43 신고

      ln = 로그(log)중에서 밑수가 e (exponential) 인 로그를 따로 자연로그라고 부르고 기호로 ln이라고 사용한답니다....
      의외로 라라윈님께서 저의 수학관련 글에 댓글을 자주 다시는걸 보면서 깜짝깜짝 놀랜답니다^^

    • BlogIcon 라라윈 2010.04.02 23:50 신고

      알려주셔서 넘 감사해요..:)
      파이는 3.14 이런 식으로
      자연로그도 따로 숫자값으로 대체되는 것이 있는거에요??

      제가 고민했던 공식에 자연로그가 포함되어 있다가
      줄여진 식에는 자연로그가 안 나오는데, 왜 그렇게 전개가 되는 지 이해가 안 되어서요...^^;;;;

    • BlogIcon PinkWink 2010.04.03 01:52 신고

      그렇지 않습니다.
      하지만, 대다수의 일반적 예제들은
      ln이 정리될 수 있도록 답이 나타나도록 되는 경우가 많습니다.^^

  3. 공학도 2010.05.04 01:52 신고

    안녕하세요 선생님
    블로그 항상 눈팅 잘하고 있습니다..(대학교 2학년생이라 공업수학을 배우거든요..)
    다름이 아니라 제가 2계 미방을 배우다가 궁금한점이 있어서 이렇게 질문드립니다.

    2계 미방에서는 항상 호모지니우스 해가 Y = C1Y1 + C2Y2로 표현되던데요(일반해를 Y1,Y2 독립함수로 표현)
    어째서 2계 미방에서는 Y1, Y2로 표현 가능한지 이유를 모르겠네요.. 예를 들어서 Y = C1Y1+C2Y2+C3Y처럼 세개의 독립함수로도 표현할수 있지 않을까요?

    일반다항식의 방정식처럼 2차에는 해가 2개까지 존재하고 3차에는 해가 3개까지 존재하듯이
    미방에서도 미방계수에 따라서 독립함수 갯수가 정해지던데
    이부분을 어떤식으로 이해를 해야할지 갑갑하네요..ㅠㅠ

    • BlogIcon PinkWink 2010.05.04 08:58 신고

      헉.. 정말 어려운 질문입니다^^

      만약, e^(m*x) 의 해에 대해 생각해보면, 극단적으로

      y''+y'+y=0 의 미방에 대입해보면

      (m^2 + m + 1)*e^(mx) = 0의 형태가 됩니다. 당연히 지수는 '0'이 아니니 해가 될수없어서 m에 대한 2차방정식만 남게 되네요. 그러면, 2차방정식이니 근이 두 개가 될것입니다. 2계 미방은 일반적으로 두 근의 조합(말씀하신데로)으로 표현됩니다.

      같은 원리로, n차까지 확장해서 생각해 볼 수 있겠지요.

      수학자체를 전공한것이 아니라, 좋은 대답이었는지는 자신이 없네요^^

    • 공학도 2010.05.04 11:13 신고

      저도 그렇게 이해를 하려고 했는데

      중근의 경우에서부터 꼬이더라구요^^;;

      (m^2 + m + 1)*e^(mx) 이 형태에서

      조건방정식이 중근일때는 계수낮추기를 통해서

      나머지 독립함수 Y2를 구합니다.

      저는 당연히 중근이므로 근이 하나라고 생각을 했는데

      계수 낮추기를 통해서 다른 하나를 구해버리니까

      이해가 안가더라구요(한마디로 애시당초 Y1말고 Y2가 있다고 가정한것이겠죠)

      어째서 이런가정을 하는지를 모르겠네요ㅠㅠ

      쉽게 말씀드리자면 조건방정식의 서로 다른근이 존재할지라도 계수낮추기를 통해서 다른근을 살펴봐야되지 않을까요?

      제가 너무 복잡하게 생각하는건가유ㅠㅠ

    • BlogIcon PinkWink 2010.05.04 12:07 신고

      일반적인 방법으로 도출한 해집합 y1, y2에서
      y1을 이용해서 말씀하신 계수낮추기로 다시 u1을 구해도 됩니다. 이때, u1과 y2가 다른 모양이라 마치 3개의 해가 나타난듯하다고 생각하신것 같은데...

      해집합은 독립이면 됩니다. 독립여부는 Wronskian이 '0'인지만 확인하면 됩니다.

      즉, n계 미방은 n차의 독립인 해집합을 가지면 되는 것이지요.^^

    • 공학도 2010.05.04 16:58 신고

      답변 감사합니다^^
      블로그 자주 와서 좋은 정보 보고갑니다^^

    • BlogIcon PinkWink 2010.05.04 17:00 신고

      혹시 시간이 되어 좀더 생각이 나면..
      그러니까..
      더 좋은 표현이 생각나면 다시 말씀드리겠습니다..
      (언젠진 몰라도...^^)