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[공업수학] 이중적분

category Theory/Lecture 2009.11.15 15:24

이중적분
이번에는 2중적분에서 구간의 설정과 간단한 예제. 그리고 질량중심과 관성모멘트의 도출을 간단히 다뤄보겠습니다.

본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 공업수학 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 공업수학I 개정3판 (고형준 외, 도서출판 텍스트북스) 의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.

이중적분


이중적분을 위에서 처럼 순서로 생각해보면 두가지로 생각해 볼 수 있을 겁니다. (뭘 먼저 적분하는가.. 하는 문제 말이죠) 정적분이라고 생각해야하는 것이니 먼저 적분되는 쪽은 다른쪽 변수로 함수화된 구간으로 주어져야할 것입니다.

 
위 문제를 보죠.

 
위 구간에서 이중적분을 수행해달라는 건데요.

 
x쪽을 먼저 적분해야하는 걸로 보면, x=y부터 x=5-y까지적분한다고 생각할 수 있습니다.


그러면 위와 같은 결과를 얻을 수 있지요.


그러나 위 문제를 보겠습니다. 

 
먼저 위와 같이 적분을 

 
위 그림처럼 시도하게 되면, 문제가 하나 생깁니다. y제곱을 가진 지수함수를 적분하지 못하는 거죠. 그리니 반대 방향으로 생각합니다.


위 그림처럼 시도하면


적분이 가능해 지는 거죠. 물론 적분구간에 대해서 조심하셔야합니다.


질량중심


밀도가 주어진 질량은 이중적분으로 도출할 수 있습니다.


밀도 함수도 주어졌으니 이중적분으로 일단 질량을 구하도록하죠


위 그림에 대해 생각하면


질량을 구할 수 있겠죠. 고등학교때 배운 삼각함수라는게 또 이렇게 사용된다는 것을 보면 고등학교때 좀 열심히 삼각함수할껄 하고 생각하는 학생들도 있을 겁니다.^^.

 
여기에 그 질량중심의 좌표를 구하는 과정입니다.







관성모멘트


관성모멘트의 도출 식인데요.

 
위 예제에 적용만 시켜보도록하면,

 
균일한 밀도라고 했고, 원판이니까 밀도함수의 위와같이 잡구요. 계사하면

 
되죠...^^ 




참고자료

09 Vector 08.pdf





댓글을 달아 주세요

  1. 2009.11.15 17:12

    비밀댓글입니다

  2. BlogIcon 바람처럼~ 2009.11.15 23:11 신고

    머리가 비상하실거같다는 생각뿐 ㅋ

    • BlogIcon PinkWink 2009.11.16 00:43 신고

      저런 머리가 비상했으면 벌써 졸업했어야죠...
      전 좀 아둔하고 느려요... 그게 가끔 절 슬프게 한답니다...ㅜ.ㅜ

  3. BlogIcon 빨간내복 2009.11.16 01:01 신고

    적분도 모르는데, 이중적분을.... 미오

  4. 허허 2010.04.07 09:51 신고

    저기 죄송한데 맨밑에 그림에서 삼각함수공식이라는 부분이 뭔말인지 잘모르겠는데

    설명좀 부탁드려요 님 ㅠ_ㅠ

  5. BlogIcon snowgot 2010.05.06 23:31 신고

    감사합니다 즐겁게보고갑니다 ^^

  6. snowgot 2010.05.08 18:13 신고

    음 담아가고싶은데 퍼가는 기능은 없나요 ㅜㅜ

  7. 궁금 2010.11.19 05:19 신고

    안녕하세요. 구글링하다가 들어왔어요. 이런 좋은데를 진작에 알았으면 좋았는데...
    그나저나 이중적분 질문좀 할께요... 이해가 안되는게 있어서... 이중적분 2번째 문제에 대한 질문입니다. 적분 구간을 잡는 기준이 궁금해요.
    두번째 문제 첫번째 풀이법에서 y구간을 x제곱~4 로 잡으셨는데 0~x제곱으로 해도 될거 같고... 두번째 풀이법에서 x구간을 0~루트y 로 잡으셨는데 루트y~2 로 해도 될거 같아서요.
    확률과정 공부하다가 적분 구간때문에 구글링하다가 들어왔어요.PDF를 적분해야 되는데 이중적분 적분구간때문에 환장하겠음.. 제발 도움을

    • BlogIcon PinkWink 2010.11.19 10:53 신고

      낮은 곳에서 높은 곳으로 수직선이라면 왼쪽에서 오른쪽으로 적분 구간을 잡는것과 같습니다. 다시 한번 이중적분이 시작되는 설명에서 보시면 방향을 설정해두었습니다.

  8. 공대생 2012.01.11 23:39 신고

    관성모멘트 따라왔다가 @.@ㅋㅋㅋ 다른 글들도 끌리네요 ㅋㅋ

  9. 2012.11.21 12:01

    비밀댓글입니다

  10. 질문자입니다 2013.04.19 00:00 신고

    안녕하세요 이해가 안되서 질문 드리려고합니다 먼저 2차원에서 curve를 적분하면 면적이 되고 이중적분하면 부피가 되는데요 질량 중심에서 이중적분값은 질량이 나온다고했는데 단순 이중적분에서는 부피값이 나오는데 질량과 부피가 어떻게 같은 개념을 갖는지 궁금합니다