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[선형변환] 푸리에 급수 Fourier Series

category Theory/Lecture 2009.10.20 13:34
본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 선형변환 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 공업수학 (신윤기 저, 도서출판 인터비젼) 의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다. 

푸리에급수의 일반형

어떤 함수가 위와같이 표현가능하다는 것은 주기함수라는 것을 의미합니다. 이런 주기 함수들은 정형파인 cos이나 sin의 조합으로 표현이 가능하게 되는데요.

f(t)가 주기함수일때, 푸리에계수를 알면 위와같이 푸리에급수전개가 가능해집니다.

먼저 삼각함수의 기본공식을 좀 알아야겠지요. 위 공식들은 고등학교때 배운건데...^^

sin과 cos은 한주기동안 적분하면 결과가 0이 될겁니다. 여기서 적분기호 밑에 T는 어디서 시작하든지 한주기동안의 적분이라는 뜻입니다.

위 식을 보면, Sm*Sn은 위 변환공식에 의해 좌변으로 변환될것이구요. 이때, m과 n이 다를때는 한주기간 적분은 당연히 0이 될것이고 m=n일때는 좌측에서 cos(0)를 계산하면 1이니까 한주기간 1을 적분하면 T만 남게 될것입니다. 그래서 T/2라는... 결과를 얻을 수 있지요.

같은 전개방식으로 위 두 식도 도출될 것입니다. 이렇게 두 주기함수의 곱이 한주기간 적분했을때 0의 결과를 얻는 것을 직교성을 가진다고 이야기합니다.

삼각 푸리에 급수
위에서 이야기한 푸리에급수 식은 삼각함수로 표현한 것이어서 특별히 삼각 푸리에 급수라고 이야기를 합니다. 이를 좀더 쉽게 적용하기 위해

n=0일때를 특별히 a0/2로 빼고 나머지만 둡니다.

만약 cos항에 있는 an이라는 계수를 구하고 싶다면, 직교성을 이용하면 편합니다. 위에서 처럼 f(t)에 cos을 곱하는 거죠. 그러면, 직교성으로 인해 위 결과가 도출됩니다.

푸리에계수중 cos쪽 성분입니다. 당연히 sin쪽은

sin을 곱해서 전개하면 됩니다.

이를 다시 정리해서 보면

이렇게 삼각 푸리에 급수 공식을 완성할 수 있네요.

이때, 대상함수가 우함수라면, sin성분들은 모두 0가 될테니 애초에 cos쪽 푸리에계수만 찾아주면 될것이고, 기함수라면, cos성분들은 없다는 이야기이니 sin쪽 성분만 찾아주면 되겠죠.

지수 푸리에 급수
유명한 오일러공식

을 이용하면 삼각함수는

각각 위와 같이 전개될 것입니다.

위 삼각 푸리에 급수는

위의 전개 과정을 거쳐 지수푸리에급수로 다시 표현할 수 있습니다. 이 과정을 다시 표현해서

위와 같은 표현을 많이 사용합니다. 이때 지수푸리에계수를 찾고 싶다면,

위와 같이 지수를 곱해서 다시 전개할 수 있습니다.

 



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  1. BlogIcon 빨간내복 2009.10.20 15:08 신고

    아이~~ 참 짖궂으시다.

  2. BlogIcon Alley 2009.10.20 20:15 신고

    십년도 전에 배운 공업수학이 이제는 낯설기만 합니다.
    그때 정말 열심히 공부했었는데..
    교수님이 내주시는 연습문제 풀이 숙제도 꼬박꼬박 했었는데..
    내 머릿속의 공업수학 부분은 텅~비어버렸네요.
    이렇게 안타까울 수가 있을까요.
    이제 고등학교 수학만 봐도 겁이 덜컥나고, 책을 찾아보기전엔 무슨 문제인지 감도 오지 않는 지경에 이르다니 한심하기만 합니다.

    그런데 지금도 아쉬운 것은..
    저 중요한 것들을 배우면서 정작 나중에 저것들을 어디다 쓰는지는 잘 가르쳐 주지 않는 다는 것입니다.
    그저 공식을 외우고, 문제를 풀기에 바쁠 뿐....
    실제로 접하는 현상을 수학에 적용하는 것은 요원하기만 하더군요.

    PinkWink님의 포스팅들을 보고 있자면..
    그 열정이 부럽습니다.
    하지만 어쩐지 조금 안타까운 마음도 들어 사설을 늘어놓아봅니다...

    • BlogIcon PinkWink 2009.10.20 22:42 신고

      저 같이 실력이 좀 없는 강사들인 경우는 몰라서 그렇지요...^^
      저렇게 방대한 분량의 공업수학을 딱 집어서 어디에 아름답게 사용된다고 설명할 능력이 되질 않는 경우를 이야기합니다...ㅜ.ㅜ

      고전제어(자동제어)에 관심이 있는 학생들에게는 행렬과 라플라스변환과 미분방정식의 풀이에 관심을 가지고

      디지털제어(이산)에 관심이 있는 학생들에게는 z 변환에 관심을가지고

      디지털신호처리에 관심이 있는 경우는 푸리에변환에 관심을

      동역학이나 기구학적 해석 및 전자기쪽에 관심을 가지는 학생의 경우는 미분방정식과 벡터의 미적분에 관심을 가져야한다....

      는.. 정도의 조언을 해줄수는 있으나, 딱 공업수학이라는것은 어디에 정확하게 사용된다고 이야기해주는것이 난감하더군요..

      이는 마치 중고등학생들이 수학따위 어디다 사용하는 거냐...라고 질문한다면, 그 학생이 아는 범위에서 설명해야하는건데 이런경우 상당히 어려움을 겪게 되더군요.

      매일 타고 다니는 자동차를 봐라
      --- 그건 수학따위 잘 모르는 사람이 처음으로 만들었다던데요...
      그렇지만, 지금의 자동차들이 가지는 안전성이나 쾌적함은 수학이 없이는 완성될 수가 없었다...
      --- 왜요?
      ??????????
      그렇다면 저 인천대교를 봐라... 아름답고 크지? 저런 다리들이 만들어지기 위해서는 고도의 수학적 능력이 필요하단다...
      --- 정확히 어디에요?
      음... 자동차들이 얼마나 있을지, 그때 지역의 기후는 어떤지, 지반의 상태는 또한 어떤지, 다리의 모양은 어떻게 할 것인지 등등의 변수를 고려해서 설계하는 것이지...
      --- 어떻게 고려한다는 건데요... 보여주세요...
      ??????????


      이런 대화가 ....ㅜ.ㅜ

      결국 공업수학을 배운 학생들이 한학년 더 진급해서 자신들의 세부전공으로 들어가게 되면, 그 전공과목의 기초가 되는 것이 공업수학이었다는 것을 알기를 바랄뿐입니다. (저 정도의 경험을 가진 강사는 아마 어느 과에서는 이걸 중시 여기더군... 정도의 발언만 할 수 있지 않을까 하는데요.....^^)

      물론 좀 슬프긴 하지요...
      하지만, 세부적은 전공과목이 아닌 이와같이 전공을 위한 기초과목의 경우는 그 자체로 독립적으로 사용된다고 보기 어렵더군요. 그러니, 지금 배우는 공업수학은 동역학적 해석에 유용하게 사용됩니다. 그러니 동역학적 해석기법에 관심있는 학생들에게 도움을 주겠지요. 라고 설명해도... 그와 같은 예제를 정확하게 들어주는 것은 타전공자의 경우 어렵더군요. 물론 반대의 경우로, 전자기학에서 벡터의 미적분은 완전 기초이는 지금 잘 익혀야합니다. 라고 떠들어도 역학쪽 전공자의 경우 역시 그 예를 들어주기 어렵구요...

      뭐... 저도 사실 아름다운 수업을 하고 싶긴 합니다만
      저의 경험과 실력이... 어설프고 뭉퉁거린 ... 이런데 사용된다더라... 정도로 설명해줄수밖에 없더라는...

      뭐 그래도 저역시 그런 아름다운 수업을 해줄수있기를 하고... 생각할때가 많긴하답니다... ^^

  3. BlogIcon SLA 2009.12.14 22:14 신고

    전가끔 쓰인다고만 알고 있지,
    어떻게 생겨먹은건지, 배우고 잊어버렸어요.

    화학게통이다 보니 이게... -_-;;;

    • BlogIcon PinkWink 2009.12.15 02:22 신고

      실제 사용하는 사람들도 요즘엔 좋은 툴로 그냥 해석만 하지 자세히는 잘 안하죠^^ 그러나 역시 원리는 알아야겠지요^^

  4. dldntdl 2010.01.20 14:35 신고

    저는요 고등학교때부터 진짜 수학 잘하고 싶었어요....근데 성적은 몹시 실~망! 스러웠죠...그래도 어떻게 이공계 대학을 졸업했어요... 우리는 공업수학을 안하고 대학수학정도에서 그쳤지만 공업수학도 너무 배우고 싶었어요. 근데 졸업한지 벌써 10년도 넘었네요..인제서야 기사지격증을 하나 따보려고 하는데 전부 공식이더라구요... 듣도 보도 못한 식이 많아요... 저는 갠적으로 수학자들 존경해요... 그렇다고 너무 천재들이라 감히 쳐다볼 엄두도 못내고 그런건 아니구요... 나도 그런 수학적 원리이해및 응용등을 잘하고 싶어요. 나이가 들어도 조금 씩 공부해 볼 꺼예요... 샘이 올린 글도 열심히 보고 있습니다. 수고하세요...

    • BlogIcon PinkWink 2010.01.20 16:13 신고

      수학자는 위대한지 몰라도 뭐 전 그렇지않습니다. ^^. 그러니 아직 졸업도 못하고 있지요 ㅋㅋ. 좋은성과가 있으셨으면 좋겠습니다. 더불어 제 블로그가 또한 작은 도움이라도 드렸으면 좋겠습니다. ^^

  5. Goo 2010.04.10 22:30 신고

    진동학을 공부하는 공학도입니다!!
    푸리에 급수에 대해 영 감을 잡지못해 인터넷검색을 했는데
    좋은 블로그 만난것 같아요!!ㅎ
    자주자주 와서 배우겠습니다.^-^!!

  6. jhpjhp2 2010.06.22 23:15 신고

    중간에 a_0/2 가 n=0일 때 왜 나오는지 모르겠습니다. 위에서 n=0을 대입시키면 그냥 a_0가 나오는 거 같은데 여기서 1/2은 왜 곱하는 것이지요? ㅠㅠ

  7. student 2010.07.04 23:41 신고

    푸리에 급수에 대해 연구를 해서 찾고 있었는데 ㄷ움이 잘됬습니다! 많이 보고 갈게요~

  8. solbon 2010.07.17 02:33 신고

    수학을 왜 하는가? 에 대한 저의 답변은 화엄경의 내용을 말해주겠습니다. '달을 보라고 손가락으로 가리키니 손가락만 쳐다본다'는 말이 있죠. 수학을 공부하는건 바로 그런 이유가 아닐까 합니다. 그 달이란 것이 직접 이러저라하다라고 아무리 말로 설명해봤자 직접 본인이 보는 것만 같지 못하지요. 또 그렇게 일일히 설명하기도 힘든 것도 마찬가지지요.

    • BlogIcon PinkWink 2010.07.17 08:17 신고

      좋은 말씀이신것같습니다. 비록 전 화엄경을 모르지만 말이죠...^^
      그러나 역시 남은 문제는.. 어떻게 손가락이라도 보여주는 가인데.. 전 많이 부족한 것 같습니다..ㅠㅠ

  9. BlogIcon 임은천 2010.10.09 02:13 신고

    지수 푸리에 급수 4번째 식에서 conjugate 취한 뒤에 +C_(-1) 형태로 표현되었는데 이것은 어떻게 된 것인지요? (-1)^(n-1)C_(-1) 해도 이상하고.. 정확히 어떤 의미인지 와닿지 않네요..

    덧붙여서

    위와 같은 표현을 많이 사용합니다. 이때 지수푸리에계수를 찾고 싶다면,

    ...

    위와 같이 지수를 곱해서 다시 전개할 수 있습니다.

    ... 부분에 있는 식 중에서 대괄호 있는 곳에서 e^inx 항은 없어야 orthogonality가 성립하는 것 아닌지요..

    • BlogIcon PinkWink 2010.10.10 23:40 신고

      말씀하신 n자리에 -n을 대입하면, a_n은 그대로 a_n이고, b_n은 -b_n이 됩니다. 그래서 c_n을 질문하신 자리엤는 c_n에 c_(-n)을 대입해서 표현해도 무방하게 됩니다. 그리고, 두 번째 하신 질문은 계수를 구하기 위해 우변의 적분을 상수로 만들고, c_n만 남기기 위해 양변에 동일하게 적용(양변에 '0'이 아닌 수를 곱해도 된다...는..)한 것일 뿐입니다.

  10. 늅늅 2013.09.25 19:46 신고

    지수 푸리에 급수에서요
    c0은 왜 없어지는건가요?

    • BlogIcon PinkWink 2013.09.26 18:57 신고

      c0가 있을때는 그 옆의 summation이 n=1부터지만, 그 후에 summation을 n=0부터로 만들면서 c0를 포함시켰습니다.